ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите вектор, равный \(\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{DC_1} + \overrightarrow{BC}\).

Дан куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Найти вектор, равный \( \overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} \).

Решение:

В кубе векторы можно представить через ребра. Обозначим:

\(\overrightarrow{AA_1} = \vec{ad}\),
\(\overrightarrow{DC} = \vec{d c}\),
\(\overrightarrow{BC} = \vec{b c}\).

Тогда:

\[
\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} = \vec{ad} — \vec{dc} + \vec{bc}.
\]

Поскольку \(\vec{dc} = -\vec{cd}\), перепишем:

\[
= \vec{ad} + \vec{cd} + \vec{bc}.
\]

В кубе \(\vec{ad} + \vec{cd} = \vec{ac}\), тогда:

\[
\vec{ac} + \vec{bc} = \vec{bc} + \vec{ac} = \vec{bd}.
\]

Ответ: \(\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} = \vec{bd}\).

Дан куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Требуется найти вектор, равный выражению \( \overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} \).

Для начала вспомним, что в кубе все ребра равны и параллельны осям координат. Векторы, соответствующие ребрам, можно обозначить через вершины куба. В частности, вектор \( \overrightarrow{AA_1} \) — это вектор, направленный от вершины \( A \) к вершине \( A_1 \), то есть вдоль ребра, соединяющего нижнюю и верхнюю грани куба. Аналогично, вектор \( \overrightarrow{DC} \) направлен от вершины \( D \) к вершине \( C \), а вектор \( \overrightarrow{BC} \) — от вершины \( B \) к вершине \( C \).

Рассмотрим теперь разложение каждого из этих векторов через базовые ребра куба. Вершина \( A_1 \) находится над вершиной \( A \) вдоль ребра \( AD \), поэтому \( \overrightarrow{AA_1} = \vec{ad} \). Вектор \( \overrightarrow{DC} \) равен \( \vec{dc} \), а \( \overrightarrow{BC} = \vec{bc} \). Подставим эти обозначения в исходное выражение:

\( \overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} = \vec{ad} — \vec{dc} + \vec{bc} \).

Обратим внимание, что \( \vec{dc} = -\vec{cd} \), так как направление вектора меняется на противоположное при смене порядка точек. Значит, выражение можно переписать так:

\( \vec{ad} + \vec{cd} + \vec{bc} \).

Теперь рассмотрим сумму \( \vec{ad} + \vec{cd} \). В кубе вершины \( A, C, D \) лежат в одной плоскости основания, и вектор \( \vec{ad} + \vec{cd} \) равен вектору \( \vec{ac} \), так как путь из \( A \) в \( D \), а затем из \( D \) в \( C \) равносилен прямому пути из \( A \) в \( C \).

Таким образом, выражение упрощается до:

\( \vec{ac} + \vec{bc} \).

В кубе вершины \( B, C, D \) также лежат в одной плоскости основания, и сумма векторов \( \vec{bc} + \vec{ac} \) равна вектору \( \vec{bd} \), так как путь из \( B \) в \( C \), а затем из \( C \) в \( A \) (через \( A \) к \( C \)) эквивалентен вектору из \( B \) в \( D \).

Итог:

\( \overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} = \vec{bd} \).