ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OC}\), где \(O\) — произвольная точка пространства.

Дан параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Докажите, что для произвольной точки \( O \) пространства выполняется равенство

\[
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OC}.
\]

Решение:

Перепишем векторы:

\[
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OC}.
\]

Переносим векторы в левую часть:

\[
\overrightarrow{OA} — \overrightarrow{OA_1} = \overrightarrow{OC} — \overrightarrow{OC_1}.
\]

Так как \( A A_1 C C_1 \) — параллелограмм (грани параллелепипеда), то

\[
\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{CC_1}.
\]

Следовательно,

\[
\overrightarrow{OA_1} — \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC_1} — \overrightarrow{OC}.
\]

Отсюда

\[
\overrightarrow{OA} — \overrightarrow{OA_1} = \overrightarrow{OC} — \overrightarrow{OC_1}.
\]

Равенство доказано.

Дан параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) и произвольная точка \( O \) пространства. Нужно доказать равенство векторов \( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OC} \).

Для начала рассмотрим, что означают эти векторы. Вектор \( \overrightarrow{OA} \) — это направленный отрезок от точки \( O \) к вершине \( A \), а \( \overrightarrow{OC_1} \) — от \( O \) к вершине \( C_1 \). Аналогично, \( \overrightarrow{OA_1} \) ведёт от \( O \) к \( A_1 \), а \( \overrightarrow{OC} \) — от \( O \) к \( C \). Нам нужно показать, что сумма первых двух векторов равна сумме вторых двух.

Перепишем исходное равенство так, чтобы сгруппировать векторы по сторонам параллелепипеда:

\( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OC} \).

Переносим все векторы в левую часть:

\( \overrightarrow{OA} — \overrightarrow{OA_1} = \overrightarrow{OC} — \overrightarrow{OC_1} \).

Теперь обратим внимание, что разность векторов \( \overrightarrow{OA} — \overrightarrow{OA_1} \) равна вектору \( \overrightarrow{A_1A} \), так как

\( \overrightarrow{OA} — \overrightarrow{OA_1} = \overrightarrow{A_1A} \).

Аналогично,

\( \overrightarrow{OC} — \overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{C_1C} \).

Поскольку \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) — параллелепипед, то его противоположные ребра параллельны и равны по длине, а именно ребра \( A A_1 \) и \( C C_1 \) параллельны и равны. Следовательно,

\( \overrightarrow{A_1A} = \overrightarrow{C_1C} \).

Из этого следует, что

\( \overrightarrow{OA} — \overrightarrow{OA_1} = \overrightarrow{OC} — \overrightarrow{OC_1} \),

что и требовалось доказать. Таким образом, исходное равенство верно для любой точки \( O \) в пространстве.