ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что \(|\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1}| = |\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AA_1}|\).

Дан прямоугольный параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \).

Докажем, что \( | \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1} | = | \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AA_1} | \).

В прямоугольном параллелепипеде векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\) перпендикулярны.

Тогда по теореме Пифагора:

\( |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AA_1}|^2 + 2 \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AA_1} = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AA_1}|^2 \),

так как \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AA_1} = 0\).

Аналогично,

\( |\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AA_1}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AA_1}|^2 — 2 \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AA_1} = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AA_1}|^2 \).

Следовательно,

\( |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1}| = |\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AA_1}| \).

3.23. Дан прямоугольный параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Нужно доказать, что \( |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1}| = |\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AA_1}| \).

В прямоугольном параллелепипеде стороны, выходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны. В частности, векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\) перпендикулярны, так как \(\overrightarrow{AC}\) лежит в основании параллелепипеда, а \(\overrightarrow{AA_1}\) направлен вдоль высоты. Это значит, что угол между ними равен \(90^\circ\).

Для вычисления длины суммы и разности векторов используем формулу длины вектора: \( |\overrightarrow{u} \pm \overrightarrow{v}|^2 = |\overrightarrow{u}|^2 + |\overrightarrow{v}|^2 \pm 2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \). Так как \(\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{AA_1}\), то скалярное произведение равно нулю: \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AA_1} = 0\). Следовательно,

\( |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AA_1}|^2 + 2 \cdot 0 = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AA_1}|^2 \),

и

\( |\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AA_1}|^2 = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AA_1}|^2 — 2 \cdot 0 = |\overrightarrow{AC}|^2 + |\overrightarrow{AA_1}|^2 \).

Так как квадраты длин равны, то равны и сами длины:

\( |\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1}| = |\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AA_1}| \).

Таким образом, доказано требуемое равенство, опираясь на перпендикулярность векторов и свойства скалярного произведения.