ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) равна 4 см. Точка \(D\) — середина ребра \(AB\). Найдите модуль вектора \(\vec{a} = \overrightarrow{B_1B} — \overrightarrow{DA} — \overrightarrow{AC}\).

Рассмотрим векторы в координатах: \(\vec{AB} = (4,0,0)\), высота призмы вдоль оси \(z\), \(\vec{B_1B} = (0,0,-4)\), \(\vec{DA} = -\frac{1}{2} \vec{AB} = (-2,0,0)\), \(\vec{AC} = (2, 2\sqrt{3}, 0)\), тогда \(\vec{A_1C} = (2, 2\sqrt{3}, -4)\).

Вычислим \(\vec{a} = \vec{B_1B} — \vec{DA} — \vec{A_1C} = (0,0,-4) — (-2,0,0) — (2, 2\sqrt{3}, -4)=\)
\( = (0, -2\sqrt{3}, 0)\).

Длина вектора \(\vec{a}\) равна \(\sqrt{0^2 + (-2\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}\).

1. Рассмотрим правильную треугольную призму с основанием равносторонним треугольником со стороной \(4\). Обозначим вектор \( \vec{AB} = (4, 0, 0) \) вдоль оси \(x\). Точка \(D\) — середина ребра \(AB\), значит вектор \( \vec{DA} \) направлен от \(D\) к \(A\) и равен половине вектора \( \vec{AB} \) с обратным знаком, то есть \( \vec{DA} = -\frac{1}{2} \vec{AB} = (-2, 0, 0) \).

2. Вектор \( \vec{B_1B} \) — вертикальное ребро призмы, направленное вниз по оси \(z\), его длина равна высоте призмы, которую примем равной стороне основания, то есть \(4\). Тогда \( \vec{B_1B} = (0, 0, -4) \).

3. Вектор \( \vec{AC} \) — сторона основания, направленная под углом \(60^\circ\) к вектору \( \vec{AB} \), поэтому его координаты равны \( \vec{AC} = 4(\cos 60^\circ, \sin 60^\circ, 0) = (2, 2\sqrt{3}, 0) \). Вектор \( \vec{A_1C} \) — из вершины верхнего основания \(A_1\) в точку \(C\) нижнего основания, поэтому \( \vec{A_1C} = \vec{AC} — \vec{A A_1} = (2, 2\sqrt{3}, -4) \).

4. Подставляя в выражение для искомого вектора \( \vec{a} = \vec{B_1B} — \vec{DA} — \vec{A_1C} \), получаем \( \vec{a} = (0, 0, -4) — (-2, 0, 0) — (2, 2\sqrt{3}, -4)=\)
\( = (0 + 2 — 2, 0 — 0 — 2\sqrt{3}, -4 — 0 + 4) = (0, -2\sqrt{3}, 0) \).

5. Длина вектора \( \vec{a} \) вычисляется по формуле \( |\vec{a}| = \sqrt{0^2 + (-2\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \).