ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите координаты точки \(A\) такой, что \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \vec{0}\), если \(B (4; -2; 12)\), \(C (3; -1; 4)\).

В условии дано равенство векторных сумм: \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \vec{0} \). Обозначим координаты точки \( A \) как \( (x, y, z) \).

Векторы:
\(
\overrightarrow{AB} = (4 — x, -2 — y, 12 — z), \quad \overrightarrow{AC} = (3 — x, -1 — y, 4 — z)
\)

По условию сумма равна нулю:
\(
(4 — x) + (3 — x) = 0, \quad (-2 — y) + (-1 — y) = 0, \quad (12 — z) + (4 — z) = 0
\)

Упрощаем каждое уравнение:
\(
7 — 2x = 0, \quad -3 — 2y = 0, \quad 16 — 2z = 0
\)

Решаем:
\(
2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3.5, \quad 2y = -3 \Rightarrow y = -\frac{3}{2} = -1.5, \quad 2z = 16 \Rightarrow z = 8
\)

Координаты точки \( A \) равны \( (3.5, -1.5, 8) \)

1. В условии задачи дано равенство векторных сумм: \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \vec{0} \). Это означает, что сумма векторов, исходящих из точки \( A \) к точкам \( B \) и \( C \), равна нулевому вектору. Чтобы найти координаты точки \( A \), обозначим её как \( A(x, y, z) \). Тогда вектор \( \overrightarrow{AB} \) можно выразить через координаты точек \( A \) и \( B \): \( \overrightarrow{AB} = (4 — x, -2 — y, 12 — z) \), а вектор \( \overrightarrow{AC} = (3 — x, -1 — y, 4 — z) \).

2. По условию, сумма этих векторов равна нулю, то есть \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (0, 0, 0) \). Складывая соответствующие компоненты векторов, получаем уравнения для каждой координаты: \( (4 — x) + (3 — x) = 0 \), \( (-2 — y) + (-1 — y) = 0 \), \( (12 — z) + (4 — z) = 0 \). Упростим каждое из них: \( 7 — 2x = 0 \), \( -3 — 2y = 0 \), \( 16 — 2z = 0 \).

3. Решая каждое уравнение относительно соответствующей переменной, находим: \( 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3.5 \), \( 2y = -3 \Rightarrow y = -\frac{3}{2} = -1.5 \), \( 2z = 16 \Rightarrow z = 8 \). Таким образом, координаты точки \( A \) равны \( (3.5, -1.5, 8) \), что и является искомым решением задачи.