ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите координаты точки \(M\) такой, что \(\overrightarrow{CM} — \overrightarrow{MD} = \vec{0}\), если \(C (1; -5; 3)\), \(D (-2; 0; 6)\).

Дано: точки \(C(1; -5; 3)\), \(D(-2; 0; 6)\). Найти координаты точки \(M(x; y; z)\), такую что \(\overrightarrow{CM} — \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0}\).

Запишем векторы:
\(\overrightarrow{CM} = (x — 1; y + 5; z — 3)\),
\(\overrightarrow{MD} = (-2 — x; 0 — y; 6 — z)\).

Условие: \(\overrightarrow{CM} — \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0}\), значит
\((x — 1) — (-2 — x) = 0\),
\((y + 5) — (0 — y) = 0\),
\((z — 3) — (6 — z) = 0\).

Решаем:
\(x — 1 + 2 + x = 0 \Rightarrow 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\),
\(y + 5 + y = 0 \Rightarrow 2y + 5 = 0 \Rightarrow y = -\frac{5}{2}\),
\(z — 3 — 6 + z = 0 \Rightarrow 2z — 9 = 0 \Rightarrow z = \frac{9}{2}\).

Ответ: \(M\left(-\frac{1}{2}; -\frac{5}{2}; \frac{9}{2}\right)\).

В условии задачи дана точка \(C\) с координатами \( (1; -5; 3) \) и точка \(D\) с координатами \( (-2; 0; 6) \). Требуется найти координаты точки \(M(x; y; z)\), для которой выполняется равенство векторов \(\overrightarrow{CM} — \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0}\). Это означает, что векторы \(\overrightarrow{CM}\) и \(\overrightarrow{MD}\) равны друг другу. Чтобы найти координаты точки \(M\), сначала запишем выражения для этих векторов через координаты \(M\).

Вектор \(\overrightarrow{CM}\) — это вектор, направленный из точки \(C\) в точку \(M\), его координаты равны разности соответствующих координат точки \(M\) и точки \(C\):
\(\overrightarrow{CM} = (x — 1; y + 5; z — 3)\).
Аналогично, вектор \(\overrightarrow{MD}\) направлен из точки \(M\) в точку \(D\), его координаты равны разности координат точки \(D\) и точки \(M\):
\(\overrightarrow{MD} = (-2 — x; 0 — y; 6 — z)\).

По условию \(\overrightarrow{CM} — \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0}\), значит
\((x — 1) — (-2 — x) = 0\),
\((y + 5) — (0 — y) = 0\),
\((z — 3) — (6 — z) = 0\).

Раскроем скобки и упростим каждое уравнение:
\(x — 1 + 2 + x = 0 \Rightarrow 2x + 1 = 0\),
\(y + 5 + y = 0 \Rightarrow 2y + 5 = 0\),
\(z — 3 — 6 + z = 0 \Rightarrow 2z — 9 = 0\).

Теперь решим каждое уравнение относительно соответствующей переменной:
\(2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}\),
\(2y + 5 = 0 \Rightarrow 2y = -5 \Rightarrow y = -\frac{5}{2}\),
\(2z — 9 = 0 \Rightarrow 2z = 9 \Rightarrow z = \frac{9}{2}\).

Таким образом, координаты точки \(M\) равны \( \left(-\frac{1}{2}; -\frac{5}{2}; \frac{9}{2}\right) \).