Учебник «Геометрия. 11 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского — это современное и тщательно продуманное пособие, предназначенное для школьников, изучающих геометрию на профильном уровне. Издание полностью соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 11 класса, обеспечивая глубокое и системное понимание предмета.
ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
Даны треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). Докажите, что \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CA_1}\).
Рассмотрим векторы \( \overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{BB_1}, \overrightarrow{CC_1} \). Их можно представить как разности координат: \( \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A} \), \( \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B} \), \( \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C} \).
Сложим эти векторы: \( (\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C}) = (\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{C_1}) — (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) \).
Теперь рассмотрим сумму векторов \( \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CA_1} \). По определению: \( \overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A} \), \( \overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{B} \), \( \overrightarrow{CA_1} = \overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{C} \).
Их сумма равна \( (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{C}) = (\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{C_1}) — (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) \).
Поскольку обе суммы равны, получаем искомое равенство: \( \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CA_1} \).
1. Рассмотрим векторы \( \overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{BB_1}, \overrightarrow{CC_1} \), которые соединяют соответствующие вершины треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). Каждый из этих векторов можно выразить как разность координат конечной и начальной точек: \( \overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A} \), \( \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B} \), \( \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C} \). Это значит, что каждый вектор показывает перемещение от точки исходного треугольника к соответствующей точке второго треугольника.
2. Сложим эти три вектора: \( \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = (\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C}) \). Раскрыв скобки, получаем сумму координат точек второго треугольника минус сумма координат точек первого треугольника: \( (\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{C_1}) — (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) \). Это выражение показывает разницу между суммами векторов, соответствующих вершинам двух треугольников.
3. Теперь рассмотрим сумму векторов \( \overrightarrow{AB_1}, \overrightarrow{BC_1}, \overrightarrow{CA_1} \). По определению, \( \overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A} \), \( \overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{B} \), \( \overrightarrow{CA_1} = \overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{C} \). Складывая их, получаем: \( (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{C}) \). Группируя слагаемые, видим, что сумма равна \( (\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{C_1}) — (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) \), то есть та же разность сумм, что и в предыдущем случае.
4. Таким образом, обе суммы векторов равны, так как выражаются одинаковой разностью сумм векторов вершин двух треугольников. Это доказывает равенство \( \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CA_1} \). Такое равенство иллюстрирует, что сумма векторов, соединяющих соответствующие вершины, совпадает с суммой векторов, соединяющих вершины одного треугольника с вершинами другого по определённому правилу.
5. Итоговое равенство показывает важное свойство векторных сумм в геометрии: перестановка точек и соответствующих векторов при сложении может приводить к одинаковому результату, что удобно использовать при решении задач на векторные преобразования и доказательства в планиметрии.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!