ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны четырёхугольники \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\). Докажите, что \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1}\).

Даны четырёхугольники \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\).

Докажем, что

\(
\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1}.
\)

Рассмотрим левую часть:

\(
\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1} = (\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C})+\)
\( + (\overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{D}).
\)

Рассмотрим правую часть:

\(
\overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1} = (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{C}) +\)
\(+ (\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{D}).
\)

Вычислим разность левой и правой частей:

\(
(\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C}) + (\overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{D}) — ((\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A}) +\)
\(+ (\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{C}) + (\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{D})).
\)

Раскроем скобки и сгруппируем:

\(
\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{D} — \overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{A} — \overrightarrow{C_1} +\)
\(+ \overrightarrow{B} — \overrightarrow{D_1} + \overrightarrow{C} — \overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{D}.
\)

Сократим одинаковые векторы:

\(
(\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A_1}) + (- \overrightarrow{A} + \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B_1}) + (- \overrightarrow{B} + \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C_1}) +\)
\(+ (- \overrightarrow{C} + \overrightarrow{C}) + (\overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{D_1}) + (- \overrightarrow{D} + \overrightarrow{D}) = \overrightarrow{0}.
\)

Следовательно,

\(
\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1}.
\)

Даны два четырёхугольника \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\). Нужно доказать равенство векторов

\(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1}\).

Для этого рассмотрим каждое слагаемое отдельно. Вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) обозначает перемещение из точки \(A\) в точку \(A_1\), то есть его можно записать как разность координат точек: \(\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A}\). Аналогично, \(\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B}\), \(\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C}\), \(\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{D}\).

Сложим все эти векторы:

\(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1} = (\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C})+\)
\( + (\overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{D})\).

Теперь рассмотрим правую часть равенства. Вектор \(\overrightarrow{AB_1}\) — это перемещение из точки \(A\) в точку \(B_1\), то есть \(\overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A}\). Аналогично, \(\overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{B}\), \(\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{C}\), \(\overrightarrow{DA_1} = \overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{D}\).

Сложим эти векторы:

\(\overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1} = (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{C})+\)
\( + (\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{D})\).

Чтобы доказать равенство, рассмотрим разность левой и правой частей:

\(
(\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C}) + (\overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{D}) — ((\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{A}) +\)
\(+ (\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{C}) + (\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{D})).
\)

Раскроем скобки и сгруппируем похожие слагаемые:

\(
\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{D} — \overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{A} — \overrightarrow{C_1} +\)
\(+ \overrightarrow{B} — \overrightarrow{D_1} + \overrightarrow{C} — \overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{D}.
\)

Теперь видно, что каждый вектор и его противоположный элемент сокращаются:

\(\overrightarrow{A_1} — \overrightarrow{A_1} = \overrightarrow{0}\), \(-\overrightarrow{A} + \overrightarrow{A} = \overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{B_1} — \overrightarrow{B_1} = \overrightarrow{0}\), \(-\overrightarrow{B} + \overrightarrow{B} = \overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{C_1} — \overrightarrow{C_1} = \overrightarrow{0}\), \(-\overrightarrow{C} + \overrightarrow{C} = \overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{D_1} — \overrightarrow{D_1} = \overrightarrow{0}\), \(-\overrightarrow{D} + \overrightarrow{D} = \overrightarrow{0}\).

Итого вся сумма равна нулевому вектору:

\(\overrightarrow{0}\).

Это означает, что левая и правая части исходного равенства совпадают, то есть

\(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1}\).

Таким образом, доказано требуемое равенство.