ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 3.13). Найдите сумму \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{B_1C_1}\).

Сумма векторов \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{B_1C_1} \) равна

\( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{B_1C_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0} \).

Это так, потому что сумма векторов, образующих замкнутый контур (параллелепипеда), равна нулю.

В параллелепипеде \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) даны векторы \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{DD_1} \), \( \overrightarrow{CD} \) и \( \overrightarrow{B_1C_1} \). Чтобы найти сумму этих векторов, нужно внимательно рассмотреть их взаимное расположение и свойства параллелепипеда. Параллелепипед — это трёхмерная фигура, у которой противоположные ребра параллельны и равны по длине, а грани — параллелограммы.

Первый шаг — переписать векторы так, чтобы они образовывали связанный путь. Вектор \( \overrightarrow{DD_1} \) направлен вертикально вверх, а \( \overrightarrow{B_1C_1} \) параллелен вектору \( \overrightarrow{BC} \), так как \( B_1C_1 \) — ребро верхнего основания, параллельное основанию \( BC \). Тогда сумма векторов \( \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{B_1C_1} \) эквивалентна вектору \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{A_1B_1} \), учитывая параллельность и равенство соответствующих ребер.

Теперь рассмотрим сумму всех четырёх векторов: \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{B_1C_1} \). Если мы последовательно сложим \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} \), то получим замкнутый контур, который начинается и заканчивается в одной точке, а значит, сумма этих векторов равна нулю: \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0} \). В данном случае вектор \( \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{B_1C_1} \) заменяет \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} \), поэтому сумма исходных векторов тоже равна нулю.

Таким образом, сумма векторов \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{B_1C_1} \) равна нулевому вектору, то есть \( \overrightarrow{0} \). Это результат того, что эти векторы образуют замкнутый контур в параллелепипеде, и сумма всех векторов, составляющих такой контур, всегда равна нулю.