ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Выразите вектор \(\overrightarrow{AA_1}\) через векторы \(\overrightarrow{B_1A}\), \(\overrightarrow{B_1C}\) и \(\overrightarrow{B_1D}\).

Дано: параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \).

Нужно выразить вектор \( \overrightarrow{AA_1} \) через векторы \( \overrightarrow{B_1A} \), \( \overrightarrow{B_1C} \) и \( \overrightarrow{B_1D} \).

Решение: по рисунку и свойствам параллелепипеда

\(\overrightarrow{AA_1} = -\overrightarrow{B_1A} — \overrightarrow{B_1C} + \overrightarrow{B_1D}\).

1. Рассмотрим параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Вектор \( \overrightarrow{AA_1} \) направлен вдоль ребра, соединяющего вершину \( A \) с вершиной \( A_1 \), которая находится на верхней грани параллелепипеда. Чтобы выразить этот вектор через данные векторы \( \overrightarrow{B_1A} \), \( \overrightarrow{B_1C} \) и \( \overrightarrow{B_1D} \), нужно понять взаимное расположение этих векторов и как они связаны с \( \overrightarrow{AA_1} \).

2. Векторы \( \overrightarrow{B_1A} \), \( \overrightarrow{B_1C} \) и \( \overrightarrow{B_1D} \) исходят из точки \( B_1 \), которая является верхней вершиной параллелепипеда. Вектор \( \overrightarrow{B_1A} \) направлен к вершине \( A \), \( \overrightarrow{B_1C} \) — к вершине \( C \), а \( \overrightarrow{B_1D} \) — к вершине \( D \). Важно заметить, что вектор \( \overrightarrow{AA_1} \) можно представить как сумму или разность этих векторов, учитывая направления и ориентацию ребер.

3. Анализируя направления, получаем, что \( \overrightarrow{AA_1} \) равен сумме векторов с учётом их знаков: он равен минус вектору \( \overrightarrow{B_1A} \), минус вектору \( \overrightarrow{B_1C} \) и плюс вектору \( \overrightarrow{B_1D} \). То есть

\(\overrightarrow{AA_1} = -\overrightarrow{B_1A} — \overrightarrow{B_1C} + \overrightarrow{B_1D}\).

Это выражение учитывает, что \( \overrightarrow{B_1A} \) и \( \overrightarrow{B_1C} \) направлены в сторону, противоположную \( \overrightarrow{AA_1} \), а \( \overrightarrow{B_1D} \) — в ту же сторону, что и \( \overrightarrow{AA_1} \).