ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Выразите вектор \(\overrightarrow{AD}\) через векторы \(\overrightarrow{AA_1}\), \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC_1}\).

Вектор \( \overrightarrow{AD_1} \) выражается через векторы \( \overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC_1} \) так:

\( \overrightarrow{AD_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AC_1} \).

В параллелепипеде \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) точки \( A, B, C, D \) лежат в основании, а точки с индексом 1 — в верхнем основании, соответствующем нижнему. Чтобы выразить вектор \( \overrightarrow{AD_1} \) через векторы \( \overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC_1} \), нужно понять взаимное расположение этих векторов в пространстве параллелепипеда.

Вектор \( \overrightarrow{AB} \) направлен вдоль ребра основания параллелепипеда, соединяющего точки \( A \) и \( B \). Вектор \( \overrightarrow{AA_1} \) показывает направление вертикального ребра, соединяющего основание с верхним основанием. Вектор \( \overrightarrow{AC_1} \) соединяет точку \( A \) с точкой \( C_1 \), которая находится на верхнем основании, и направлен по диагонали в верхней плоскости. Таким образом, эти три вектора образуют систему координат, в которой можно разложить любой вектор параллелепипеда.

Вектор \( \overrightarrow{AD_1} \) можно представить как сумму векторов, ведущих от \( A \) к \( D_1 \) через промежуточные точки. Так как \( D_1 \) — это вершина верхнего основания, смещённая относительно \( A \) на векторы \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{AC_1} \), то справедливо равенство: \( \overrightarrow{AD_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AC_1} \). Это разложение позволяет выразить вектор \( \overrightarrow{AD_1} \) через заданные векторы, что и требовалось.