ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны векторы \(\vec{a} (2; -1; 4)\), \(\vec{b} (0; -3; 6)\) и \(\vec{c} (1; y; 5)\). Какое наименьшее значение принимает модуль вектора \(\vec{a} + \vec{b} — \vec{c}\) и при каком значении \(y\)?

Даны векторы \( \vec{a} = (2; -1; 4) \), \( \vec{b} = (0; -3; 6) \), \( \vec{c} = (1; y; 5) \).

Вычисляем вектор \( \vec{a} + \vec{b} — \vec{c} = (2+0-1; -1-3-y; 4+6-5) = (1; -4 — y; 5) \).

Найдем модуль: \( |\vec{a} + \vec{b} — \vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-4 — y)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + (y+4)^2 + 25}=\)
\( = \sqrt{(y+4)^2 + 26} \).

Минимальное значение модуля достигается при \( y + 4 = 0 \), то есть \( y = -4 \).

Тогда минимальный модуль равен \( \sqrt{26} \).

3.32. Даны векторы \( \vec{a} = (2; -1; 4) \), \( \vec{b} = (0; -3; 6) \) и \( \vec{c} = (1; y; 5) \). Необходимо найти наименьшее значение модуля вектора \( \vec{a} + \vec{b} — \vec{c} \) и при каком значении \( y \) оно достигается.

Сначала вычислим координаты вектора \( \vec{a} + \vec{b} — \vec{c} \). Складываем соответствующие координаты векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), а затем вычитаем координаты вектора \( \vec{c} \):
\( x = 2 + 0 — 1 = 1 \),
\( y = -1 — 3 — y = -4 — y \),
\( z = 4 + 6 — 5 = 5 \).

Таким образом, вектор \( \vec{a} + \vec{b} — \vec{c} \) имеет координаты \( (1; -4 — y; 5) \).

Для нахождения модуля этого вектора используем формулу длины вектора в трехмерном пространстве:
\( |\vec{a} + \vec{b} — \vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-4 — y)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + (y + 4)^2 + 25} =\)
\(= \sqrt{(y+4)^2 + 26} \).

Минимальное значение модуля достигается, когда выражение под корнем минимально. Поскольку \( (y+4)^2 \geq 0 \) для любого \( y \), минимум будет при \( (y+4)^2 = 0 \), то есть при \( y = -4 \).

Подставляя \( y = -4 \), получаем минимальный модуль вектора:
\( |\vec{a} + \vec{b} — \vec{c}|_{\min} = \sqrt{0 + 26} = \sqrt{26} \).