ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.33 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны векторы \(\vec{m} (6; -2; 2)\), \(\vec{n} (x; 1; 2)\) и \(\vec{k} (3; -4; -7)\). Какое наименьшее значение принимает модуль вектора \(\vec{m} — \vec{n} — \vec{k}\) и при каких значениях \(x\) и \(z\)?

Даны векторы \( \vec{m} = (6; -2; z) \), \( \vec{n} = (x; 1; 2) \), \( \vec{k} = (3; -4; -7) \).

Вычисляем вектор \( \vec{m} — \vec{n} — \vec{k} = (6 — x — 3; -2 — 1 + 4; z — 2 + 7) = (3 — x; 1; z + 5) \).

Модуль этого вектора равен \( \sqrt{(3 — x)^2 + 1^2 + (z + 5)^2} \).

Для минимизации модуля необходимо минимизировать выражение под корнем: \( (3 — x)^2 + 1 + (z + 5)^2 \).

Минимум достигается при \( 3 — x = 0 \) и \( z + 5 = 0 \), то есть при \( x = 3 \), \( z = -5 \).

Тогда минимальное значение модуля равно \( \sqrt{0 + 1 + 0} = 1 \).

Ответ: \( x = 3 \), \( z = -5 \), минимальное значение модуля равно 1.

Даны векторы \( \vec{m} = (6; -2; z) \), \( \vec{n} = (x; 1; 2) \) и \( \vec{k} = (3; -4; -7) \). Нужно найти наименьшее значение модуля вектора \( \vec{m} — \vec{n} — \vec{k} \) и при каких значениях \( x \) и \( z \) оно достигается. Для этого сначала вычислим координаты вектора \( \vec{m} — \vec{n} — \vec{k} \). Координаты получаются по формуле вычитания соответствующих компонент: первая компонента равна \( 6 — x — 3 = 3 — x \), вторая — \( -2 — 1 + 4 = 1 \), третья — \( z — 2 + 7 = z + 5 \). Таким образом, вектор можно записать как \( (3 — x; 1; z + 5) \).

Модуль вектора \( \vec{m} — \vec{n} — \vec{k} \) вычисляется по формуле длины вектора в трёхмерном пространстве: \( \sqrt{(3 — x)^2 + 1^2 + (z + 5)^2} \). Чтобы найти наименьшее значение модуля, нужно минимизировать выражение под корнем, так как корень — монотонно возрастающая функция. Подкоренное выражение — это сумма квадратов: \( (3 — x)^2 + 1 + (z + 5)^2 \). Заметим, что \( 1 \) — постоянное слагаемое, и оно не зависит от переменных \( x \) и \( z \).

Минимум суммы квадратов достигается тогда, когда каждый квадрат равен нулю, так как квадраты неотрицательны. Значит, нужно решить систему уравнений: \( 3 — x = 0 \) и \( z + 5 = 0 \). Отсюда получаем \( x = 3 \) и \( z = -5 \). Подставляя эти значения обратно в выражение под корнем, получаем минимальное значение: \( \sqrt{0 + 1 + 0} = \sqrt{1} = 1 \). Таким образом, наименьшее значение модуля вектора \( \vec{m} — \vec{n} — \vec{k} \) равно 1 и достигается при \( x = 3 \) и \( z = -5 \).