ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что для любых чисел \(a, b, c, a_1, b_1\) и \(c_1\) выполняется неравенство
\(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} + \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \geq \sqrt{(a + a_1)^2 + (b + b_1)^2 + (c + c_1)^2}\).

Для любых чисел \(a, b, c, a_1, b_1, c_1\) докажем неравенство

\(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} + \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \geq \sqrt{(a + a_1)^2 + (b + b_1)^2 + (c + c_1)^2}\).

Обозначим векторы \(m = (a, b, c)\) и \(n = (a_1, b_1, c_1)\).

Тогда неравение перепишется как

\(|m| + |n| \geq |m + n|\).

Это верно по неравенству треугольника для нормы векторного пространства.

3.34. Рассмотрим любые числа \(a, b, c, a_1, b_1, c_1\) и определим два вектора в трёхмерном пространстве: \(m = (a, b, c)\) и \(n = (a_1, b_1, c_1)\). Длина (или норма) вектора \(m\) равна \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\), а длина вектора \(n\) равна \(\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\). Сумма длин этих двух векторов записывается как \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} + \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\).

Далее рассмотрим вектор сумму \(m + n = (a + a_1, b + b_1, c + c_1)\). Его длина равна \(\sqrt{(a + a_1)^2 + (b + b_1)^2 + (c + c_1)^2}\). Неравенство, которое нужно доказать, утверждает, что сумма длин векторов \(m\) и \(n\) не меньше длины их суммы, то есть

\(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} + \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \geq \sqrt{(a + a_1)^2 + (b + b_1)^2 + (c + c_1)^2}\).

Это не что иное, как геометрическое неравенство треугольника для векторов в пространстве.

Суть неравенства треугольника состоит в том, что длина любой стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других сторон. Здесь векторы \(m\), \(n\) и \(m + n\) образуют стороны треугольника, где \(m + n\) — это вектор, соединяющий концы векторов \(m\) и \(n\). Следовательно, сумма длин векторов \(m\) и \(n\) всегда будет не меньше длины вектора \(m + n\). Таким образом, исходное неравенство доказано.