ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.35 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Одно из оснований прямоугольной трапеции на 7 см меньше другого, а большая боковая сторона равна 25 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ делит прямой угол трапеции пополам.

Одно из оснований трапеции обозначим \(x\), тогда другое основание \(x+7\).

По условию, большая боковая сторона равна 25 см.

В прямоугольном треугольнике \(СНО\) по теореме Пифагора:
\(СН = \sqrt{25^2 — 7^2} = \sqrt{625 — 49} = \sqrt{576} = 24\).

Тогда меньшее основание \(ВС = 24\), а большее \(СD = 24 + 7 = 31\).

Площадь трапеции:
\(S = \frac{(ВС + CD)}{2} \times СН = \frac{24 + 31}{2} \times 24 = \frac{55}{2} \times 24 = 660\).

Ответ: площадь трапеции равна \(660\) см².

1. Пусть меньшее основание прямоугольной трапеции равно \(x\) см. Тогда большее основание будет равно \(x + 7\) см, так как по условию одно основание на 7 см меньше другого. Известно, что большая боковая сторона трапеции равна 25 см. Обозначим высоту трапеции через \(h\). Так как трапеция прямоугольная, угол при основании прямой, и высота равна стороне, прилегающей к этому углу. Рассмотрим треугольник с катетами \(h\) и 7 см, и гипотенузой 25 см.

2. В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора выполняется равенство: \(h^2 + 7^2 = 25^2\). Подставляем числа: \(h^2 + 49 = 625\), откуда \(h^2 = 625 — 49 = 576\). Следовательно, \(h = \sqrt{576} = 24\) см. Это высота трапеции, которая также равна меньшему основанию \(x\), так как диагональ делит прямой угол пополам, и по условию меньшая диагональ равна высоте.

3. Теперь мы знаем, что меньшее основание \(ВС = 24\) см, а большее основание \(CD = 24 + 7 = 31\) см. Площадь трапеции вычисляется по формуле \(S = \frac{(BC + CD)}{2} \times h\). Подставляем значения: \(S = \frac{24 + 31}{2} \times 24 = \frac{55}{2} \times 24 = 27.5 \times 24 = 660\) см². Таким образом, площадь трапеции равна 660 квадратных сантиметров.