ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Стороны \(AB\) и \(AD\) параллелограмма \(ABCD\) соответственно равны 2 см и 4 см. Угол \(BAD\) равен 60°. Точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(BC\) и \(CD\) соответственно. Найдите угол \(MAN\).

В параллелограмме \(AB = 2\), \(AD = 4\), угол \(BAD = 60^\circ\). Диагональ \(BD\) вычисляется по формуле \(BD^2 = AB^2 + AD^2 — 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos 60^\circ = 4 + 16 — 8 = 12\), значит \(BD = 2\sqrt{3}\).

Точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(BC\) и \(CD\), поэтому \(MN = \frac{1}{2} BD = \sqrt{3}\).

Длины \(AM\) и \(AN\) находятся через теорему косинусов:
\(AM^2 = AB^2 + BM^2 — 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos 60^\circ = 4 + 1 — 2 = 3\), значит \(AM = \sqrt{3}\),
\(AN^2 = AD^2 + DN^2 — 2 \cdot AD \cdot DN \cdot \cos 60^\circ = 16 + 4 — 8 = 12\), значит \(AN = 2\sqrt{3}\).

В треугольнике \(MAN\) угол \(MAN\) находится из уравнения
\(MN^2 = AM^2 + AN^2 — 2 \cdot AM \cdot AN \cdot \cos \angle MAN\),
подставляя значения, получаем
\(3 = 3 + 12 — 12 \cos \angle MAN\),
откуда \(\cos \angle MAN = \frac{5\sqrt{7}}{14}\).

Ответ: \(\arccos \frac{5\sqrt{7}}{14}\).

3.36. Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\), в котором даны стороны \(AB = 2\), \(AD = 4\) и угол \(BAD = 60^\circ\). Для начала определим координаты точек, чтобы упростить вычисления. Пусть точка \(A\) находится в начале координат, тогда вектор \(\vec{AB}\) направим вдоль оси абсцисс и запишем как \(\vec{AB} = (2, 0)\). Вектор \(\vec{AD}\) образует с \(\vec{AB}\) угол \(60^\circ\), поэтому его координаты будут \(\vec{AD} = (4 \cos 60^\circ, 4 \sin 60^\circ) = (2, 2 \sqrt{3})\). Таким образом, точки параллелограмма имеют координаты: \(A = (0, 0)\), \(B = (2, 0)\), \(D = (2, 2 \sqrt{3})\), а точка \(C\), как сумма векторов \(\vec{AB} + \vec{AD}\), равна \(C = (4, 2 \sqrt{3})\).

2. Точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(BC\) и \(CD\) соответственно. Найдем их координаты. Точка \(M\) — середина отрезка \(BC\), значит её координаты равны среднему арифметическому координат точек \(B\) и \(C\): \(M = \left(\frac{2 + 4}{2}, \frac{0 + 2 \sqrt{3}}{2}\right) = (3, \sqrt{3})\). Аналогично, точка \(N\) — середина отрезка \(CD\), поэтому её координаты: \(N = \left(\frac{4 + 2}{2}, \frac{2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{2}\right) = (3, 2 \sqrt{3})\). Теперь мы можем найти векторы \(\vec{AM}\) и \(\vec{AN}\) как разности координат точек \(M\) и \(N\) с точкой \(A\): \(\vec{AM} = (3 — 0, \sqrt{3} — 0) = (3, \sqrt{3})\), \(\vec{AN} = (3 — 0, 2 \sqrt{3} — 0) = (3, 2 \sqrt{3})\).

3. Для нахождения угла \(\angle MAN\) используем формулу косинуса угла между двумя векторами: \(\cos \angle MAN = \frac{\vec{AM} \cdot \vec{AN}}{|AM| \cdot |AN|}\). Сначала вычислим скалярное произведение: \(\vec{AM} \cdot \vec{AN} = 3 \cdot 3 + \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{3} = 9 + 6 = 15\). Далее найдем длины векторов: \(|AM| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}\), \(|AN| = \sqrt{3^2 + (2 \sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 12} = \sqrt{21}\). Подставляем полученные значения в формулу косинуса: \(\cos \angle MAN = \frac{15}{2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{21}} = \frac{15}{2 \sqrt{63}} = \frac{15 \sqrt{63}}{2 \cdot 63} = \frac{5 \sqrt{7}}{14}\). Таким образом, угол \(\angle MAN\) равен \(\arccos \frac{5 \sqrt{7}}{14}\).