ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) (рис. 3.14). Найдите сумму \(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{C_1D_1} + \overrightarrow{DB_1} + \overrightarrow{BC}\).

Дано: параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \).

Нужно найти сумму векторов: \( \overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{C_1D_1} + \overrightarrow{DB_1} + \overrightarrow{BC} \).

Решение:

1. Векторы \( \overrightarrow{A_1A} \) и \( \overrightarrow{C_1D_1} \) направлены вдоль рёбер параллелепипеда и равны по модулю, но противоположны по направлению рёбрам \( \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{D_1C_1} \), то есть
\( \overrightarrow{A_1A} = -\overrightarrow{AA_1} \),
\( \overrightarrow{C_1D_1} = -\overrightarrow{D_1C_1} \).

2. Вектор \( \overrightarrow{DB_1} \) можно представить как сумму векторов \( \overrightarrow{D B} + \overrightarrow{B B_1} \).

3. Суммируем:
\[
\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{C_1D_1} + \overrightarrow{DB_1} + \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{D_1C_1} + (\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{B B_1}) + \overrightarrow{BC}
\]

4. Так как \( \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DC} \), а \( -\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{B B_1} = \overrightarrow{B_1 A_1} \), в итоге сумма равна нулевому вектору:
\[
\overrightarrow{0}
\]

Ответ: \( \overrightarrow{0} \).

1. Рассмотрим заданные векторы: \( \overrightarrow{A_1A} \), \( \overrightarrow{C_1D_1} \), \( \overrightarrow{DB_1} \), \( \overrightarrow{BC} \). В параллелепипеде вершины \( A, B, C, D \) лежат в основании, а вершины \( A_1, B_1, C_1, D_1 \) — в верхней грани, параллельной основанию. Вектор \( \overrightarrow{A_1A} \) направлен от верхней точки \( A_1 \) вниз к \( A \), то есть противоположен вектору \( \overrightarrow{AA_1} \), который направлен вверх. Аналогично, вектор \( \overrightarrow{C_1D_1} \) направлен вдоль верхней грани от \( C_1 \) к \( D_1 \), и он противоположен вектору \( \overrightarrow{D_1C_1} \).

2. Вектор \( \overrightarrow{DB_1} \) можно разложить на сумму двух векторов: \( \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BB_1} \). Вектор \( \overrightarrow{DB} \) лежит в основании и направлен от \( D \) к \( B \), а \( \overrightarrow{BB_1} \) направлен вертикально вверх от \( B \) к \( B_1 \). Вектор \( \overrightarrow{BC} \) также лежит в основании и направлен от \( B \) к \( C \). Таким образом, сумма \( \overrightarrow{DB_1} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{BC} \).

3. Теперь сложим все векторы:
\[
\overrightarrow{A_1A} + \overrightarrow{C_1D_1} + \overrightarrow{DB_1} + \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{D_1C_1} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{BC}
\]
Поскольку \( \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DC} \), а в параллелепипеде \( \overrightarrow{DC} \) и \( \overrightarrow{D_1C_1} \) параллельны и равны по длине, их сумма с противоположными знаками взаимно уничтожится. Аналогично, \( -\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} \) в сумме дают нулевой вектор, так как они параллельны и равны по длине, но направлены в противоположные стороны. В итоге сумма всех векторов равна нулю:
\[
\overrightarrow{0}
\]