ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны векторы \(\vec{m} (-7; -1; 8)\) и \(\vec{n} (-3; 2; -4)\). Найдите:

1) координаты вектора \(\vec{m} + \vec{n}\);

2) \(|\vec{m} + \vec{n}|\).

Даны векторы \( \vec{m} = (-7; -1; 8) \) и \( \vec{n} = (-3; 2; -4) \).

1) Координаты вектора \( \vec{m} + \vec{n} \) находятся по формуле сложения соответствующих координат:
\( \vec{m} + \vec{n} = (-7 + (-3); -1 + 2; 8 + (-4)) = (-10; 1; 4) \).

2) Длина вектора \( \vec{m} + \vec{n} \) равна
\( |\vec{m} + \vec{n}| = \sqrt{(-10)^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{100 + 1 + 16} = \sqrt{117} \).

1) Для нахождения координат суммы двух векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) нужно сложить их соответствующие координаты. Вектор \( \vec{m} \) задан координатами (-7; -1; 8), а вектор \( \vec{n} \) — (-3; 2; -4). При сложении векторов складываются их компоненты по каждой оси: по оси \( x \) складываем -7 и -3, по оси \( y \) — -1 и 2, по оси \( z \) — 8 и -4. Таким образом, для каждой координаты получаем:
\( x = -7 + (-3) = -10 \),
\( y = -1 + 2 = 1 \),
\( z = 8 + (-4) = 4 \).
В итоге координаты вектора \( \vec{m} + \vec{n} \) равны (-10; 1; 4).

2) Для вычисления длины (модуля) вектора \( \vec{m} + \vec{n} \) используется формула длины вектора в трёхмерном пространстве. Длина вектора с координатами \( (x; y; z) \) равна квадратному корню из суммы квадратов его координат:
\( |\vec{m} + \vec{n}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \).
Подставим найденные координаты:
\( |\vec{m} + \vec{n}| = \sqrt{(-10)^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{100 + 1 + 16} = \sqrt{117} \).
Это значение показывает, насколько длинен результирующий вектор.

Таким образом, мы сначала нашли новый вектор, сложив поэлементно координаты исходных векторов, а затем вычислили его длину по формуле Евклидова расстояния в пространстве. Эти действия позволяют определить и направление, и величину результирующего вектора.