ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дана призма \(ABCA_1B_1C_1\) (см. рис. 3.12). Найдите разность векторов:

1) \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AC}\);

2) \(\overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{BC}\);

3) \(\overrightarrow{BA} — \overrightarrow{B_1C_1}\).

1) Разность векторов \( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{A_1C_1} \) равна \( \overrightarrow{CB} \).

2) Разность векторов \( \overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{BC_1} \) равна \( \overrightarrow{C_1B} \).

3) Разность векторов \( \overrightarrow{BA} — \overrightarrow{B_1C_1} \) равна \( \overrightarrow{C_1A_1} \).

1) Рассмотрим разность векторов \( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{A_1C_1} \). Вектор \( \overrightarrow{AB} \) направлен от точки A к точке B, а вектор \( \overrightarrow{A_1C_1} \) — от точки \( A_1 \) к точке \( C_1 \). Поскольку призма параллельна основаниям, векторы \( \overrightarrow{A_1C_1} \) и \( \overrightarrow{AC} \) сонаправлены и равны по длине. Тогда разность \( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{A_1C_1} \) можно представить как сумму векторов \( \overrightarrow{AB} \) и противоположного \( \overrightarrow{C_1A_1} \), что эквивалентно вектору \( \overrightarrow{CB} \), направленному от точки C к точке B.

2) Для разности \( \overrightarrow{AA_1} — \overrightarrow{BC_1} \) рассмотрим вектор \( \overrightarrow{AA_1} \), который направлен вертикально вверх от основания к верхнему основанию призмы. Вектор \( \overrightarrow{BC_1} \) соединяет точку B основания с точкой \( C_1 \) верхнего основания. Вычитая \( \overrightarrow{BC_1} \) из \( \overrightarrow{AA_1} \), мы фактически сдвигаемся вдоль вертикали и затем возвращаемся в плоскость основания, что даёт результат, направленный от \( C_1 \) к B, то есть вектор \( \overrightarrow{C_1B} \).

3) Разность \( \overrightarrow{BA} — \overrightarrow{B_1C_1} \) требует внимательного рассмотрения. Вектор \( \overrightarrow{BA} \) направлен от B к A в основании, а \( \overrightarrow{B_1C_1} \) — в верхнем основании от \( B_1 \) к \( C_1 \). Поскольку призма параллельна основаниям, вектор \( \overrightarrow{B_1C_1} \) параллелен и равен по длине вектору \( \overrightarrow{BC} \), смещённому вверх. Вычитая \( \overrightarrow{B_1C_1} \), мы получаем вектор, который направлен от \( C_1 \) к \( A_1 \), то есть \( \overrightarrow{C_1A_1} \), что соответствует искомой разности.