ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 3.8 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите разность векторов:

1) \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{DC}\);

2) \(\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{DD_1}\).

1) Разность векторов \( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{DC_1} \).

В кубе \( \overrightarrow{DC_1} = \overrightarrow{DB} \), так как \(C_1\) — вершина над \(C\), а \(B\) — вершина, смещённая аналогично \(C_1\) относительно \(D\).

Поэтому

\(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{DC_1} = \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}\).

2) Разность векторов \( \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{DD_1} \).

В кубе \( \overrightarrow{DD_1} \) — это вектор, направленный вверх от \(D\) к \(D_1\).

Тогда

\(\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{D_1D} = \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{DD_1}\), что совпадает с исходным выражением, то есть разность остаётся как есть.

1) Рассмотрим разность векторов \( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{DC_1} \) в кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Вектор \( \overrightarrow{AB} \) направлен от точки \( A \) к точке \( B \), а вектор \( \overrightarrow{DC_1} \) — от точки \( D \) к вершине \( C_1 \), которая находится над точкой \( C \) на верхней грани куба. Поскольку куб — правильный, векторы между соответствующими вершинами параллельны и равны по длине. Чтобы упростить выражение, заметим, что \( \overrightarrow{DC_1} = \overrightarrow{DB} \), так как \( C_1 \) находится над \( C \), а \( B \) — это вершина, смещённая относительно \( D \) в той же плоскости, что и \( C_1 \).

Теперь перепишем разность: \( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{DC_1} = \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{DB} \). Заметим, что \( \overrightarrow{DB} = -\overrightarrow{BD} \), следовательно, \( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} \). По правилу сложения векторов это равно вектору \( \overrightarrow{AD} \), так как \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} \).

Таким образом, итоговый результат для первого выражения: \( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{DC_1} = \overrightarrow{AD} \).

2) Теперь рассмотрим разность векторов \( \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{DD_1} \). Вектор \( \overrightarrow{AC} \) направлен от точки \( A \) к точке \( C \), которая находится на нижней грани куба, а вектор \( \overrightarrow{DD_1} \) направлен вертикально вверх от точки \( D \) к вершине \( D_1 \), находящейся на верхней грани куба. Важно понимать, что эти векторы лежат в разных плоскостях: \( \overrightarrow{AC} \) — в нижней плоскости, а \( \overrightarrow{DD_1} \) — вертикальный.

Чтобы найти разность, запишем \( \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{D_1D} \), так как \( \overrightarrow{DD_1} = -\overrightarrow{D_1D} \). Вектор \( \overrightarrow{D_1D} \) направлен вниз, противоположно \( \overrightarrow{DD_1} \). В результате мы получаем сумму векторов, направленных в разные стороны, что нельзя упростить дальше в виде одного из ребер куба. Поэтому разность остаётся в исходном виде.

Итог для второго выражения: \( \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{DD_1} \).