ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите значения \(x\) и \(y\), при которых векторы \(\vec{a} (x; y; 2)\) и \(\vec{b} (-2; 3; 1)\) будут коллинеарны.

Для коллинеарности векторов \(\vec{a}(x; y; 2)\) и \(\vec{b}(-2; 3; 1)\) должны выполняться пропорции:

\[
\frac{x}{-2} = \frac{y}{3} = \frac{2}{1}.
\]

Из равенства \(\frac{x}{-2} = \frac{2}{1}\) получаем:

\[
x = -4.
\]

Из равенства \(\frac{y}{3} = \frac{2}{1}\) получаем:

\[
y = 6.
\]

Ответ: \(x = -4\), \(y = 6\).

Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы один из них был пропорционален другому, то есть существовало такое число \(k\), что выполняется равенство \(\vec{a} = k \vec{b}\). В нашем случае векторы заданы как \(\vec{a}(x; y; 2)\) и \(\vec{b}(-2; 3; 1)\). Это означает, что компоненты векторов должны удовлетворять соотношениям:

\[
\frac{x}{-2} = \frac{y}{3} = \frac{2}{1} = k.
\]

Здесь \(k\) — общее отношение, показывающее, во сколько раз каждый компонент вектора \(\vec{a}\) больше или меньше соответствующего компонента вектора \(\vec{b}\).

Рассмотрим первое равенство \(\frac{x}{-2} = \frac{2}{1}\). Из него следует, что \(x = -2 \cdot 2 = -4\). Это значение \(x\) гарантирует, что первая компонента вектора \(\vec{a}\) находится в нужной пропорции с первой компонентой вектора \(\vec{b}\). Аналогично рассмотрим второе равенство \(\frac{y}{3} = \frac{2}{1}\), откуда получаем \(y = 3 \cdot 2 = 6\). Значение \(y = 6\) обеспечивает правильную пропорцию для второй компоненты.

Таким образом, чтобы векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) были коллинеарны, необходимо, чтобы \(x = -4\) и \(y = 6\). При этих значениях все компоненты связаны одним и тем же коэффициентом \(k = 2\), что и подтверждает коллинеарность векторов.