ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите значения \(x\) и \(z\), при которых векторы \(\vec{m} (-1; 7; 2)\) и \(\vec{n} (x; 4; 5)\) будут коллинеарны.

Для коллинеарности векторов \( \vec{m}(-1; 7; z) \) и \( \vec{n}(x; 4; 5) \) должно выполняться равенство \( \frac{-1}{x} = \frac{7}{4} = \frac{z}{5} \).

Из равенства \( \frac{-1}{x} = \frac{7}{4} \) получаем \( x = -\frac{4}{7} \).

Из равенства \( \frac{7}{4} = \frac{z}{5} \) получаем \( z = \frac{7 \cdot 5}{4} = \frac{35}{4} = 8 \frac{3}{4} \).

Для того чтобы векторы \(\vec{m}(-1; 7; z)\) и \(\vec{n}(x; 4; 5)\) были коллинеарны, необходимо, чтобы один из них был пропорционален другому. Это означает, что существует такое число \(k\), при котором выполняется равенство: \(\vec{m} = k \vec{n}\). Тогда для каждой координаты должно быть верно: \(-1 = kx\), \(7 = 4k\), \(z = 5k\).

Из уравнения \(7 = 4k\) можно найти значение коэффициента пропорциональности \(k\), выразив его как \(k = \frac{7}{4}\). Подставим это значение в первое уравнение: \(-1 = kx = \frac{7}{4} x\). Решая его относительно \(x\), получаем \(x = — \frac{4}{7}\). Таким образом, первая координата вектора \(\vec{n}\) равна \(- \frac{4}{7}\).

Теперь подставим значение \(k = \frac{7}{4}\) во второе уравнение для \(z\): \(z = 5k = 5 \cdot \frac{7}{4} = \frac{35}{4}\). Запишем это в смешанной дроби: \(z = 8 \frac{3}{4}\). Следовательно, чтобы векторы были коллинеарны, значения \(x\) и \(z\) должны быть равны \(x = — \frac{4}{7}\) и \(z = 8 \frac{3}{4}\).