ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан вектор \(\vec{a} (3; 2; 1)\). Найдите коллинеарный ему вектор \(\vec{AB}\), если \(A(1; 1; 1)\), а точка \(B\) принадлежит плоскости \(yz\).

Дан вектор \( \vec{a} = (3; 2; 1) \) и точки \( A(1; 1; 1) \), \( B(0; y; z) \) на плоскости \( yz \).

Вычисляем вектор \( \vec{AB} = (0 — 1; y — 1; z — 1) = (-1; y — 1; z — 1) \).

Для коллинеарности векторов должно выполняться равенство:

\( \frac{3}{-1} = \frac{2}{y — 1} = \frac{1}{z — 1} \).

Отсюда получаем:

\( -3 = \frac{2}{y — 1} \Rightarrow y — 1 = \frac{2}{-3} \Rightarrow y = 1 — \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \),

\( -3 = \frac{1}{z — 1} \Rightarrow z — 1 = \frac{1}{-3} \Rightarrow z = 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).

Ответ: \( B(0; \frac{1}{3}; \frac{2}{3}) \).

Дан вектор \( \vec{a} = (3; 2; 1) \), и нужно найти вектор \( \vec{AB} \), коллинеарный ему. Из условия известно, что точка \( A \) имеет координаты \( (1; 1; 1) \), а точка \( B \) лежит в плоскости \( yz \), то есть её координата по оси \( x \) равна нулю, то есть \( B = (0; y; z) \).

Для начала запишем вектор \( \vec{AB} \) через координаты точек \( A \) и \( B \). Вектор направлен от точки \( A \) к точке \( B \), и его координаты вычисляются как разность соответствующих координат: \( \vec{AB} = (0 — 1; y — 1; z — 1) = (-1; y — 1; z — 1) \). Теперь нам нужно найти такие значения \( y \) и \( z \), чтобы вектор \( \vec{AB} \) был коллинеарен вектору \( \vec{a} \). Коллинеарность означает, что один вектор можно получить умножением другого на некоторое число \( k \).

Чтобы векторы были коллинеарны, должны выполняться равенства по соответствующим координатам с одним и тем же множителем \( k \):

\( \frac{3}{-1} = \frac{2}{y — 1} = \frac{1}{z — 1} \).

Вычислим сначала значение \( k \) по первой координате: \( k = \frac{3}{-1} = -3 \).

Подставим это значение в уравнения для второй и третьей координат:

Для второй координаты:

\( -3 = \frac{2}{y — 1} \Rightarrow -3(y — 1) = 2 \Rightarrow -3y + 3 = 2 \Rightarrow -3y = -1 \Rightarrow y = \frac{1}{3} \).

Для третьей координаты:

\( -3 = \frac{1}{z — 1} \Rightarrow -3(z — 1) = 1 \Rightarrow -3z + 3 = 1 \Rightarrow -3z = -2 \Rightarrow z = \frac{2}{3} \).

Таким образом, координаты точки \( B \) равны \( (0; \frac{1}{3}; \frac{2}{3}) \), и вектор \( \vec{AB} = (-1; \frac{1}{3} — 1; \frac{2}{3} — 1) = (-1; -\frac{2}{3}; -\frac{1}{3}) \) коллинеарен вектору \( \vec{a} = (3; 2; 1) \), так как их координаты связаны множителем \( -3 \).