ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны точки \(A(-3; 6; 4)\), \(B(6; -1; 2)\) и \(C(0; 3; -2)\). Найдите точку \(D\), принадлежащую плоскости \(xz\), такую, что \(AD \parallel BC\).

Даны точки \( A(-3; 6; 4) \), \( B(6; -1; 2) \), \( C(0; 3; -2) \). Нужно найти точку \( D(x; 0; z) \), лежащую в плоскости \( xz \), такую что вектор \( \overrightarrow{AD} \) параллелен вектору \( \overrightarrow{BC} \).

Вычисляем векторы: \( \overrightarrow{AD} = (x + 3; -6; z — 4) \) и \( \overrightarrow{BC} = (-6; 4; -4) \).

Поскольку векторы параллельны, записываем пропорции координат: \( \frac{x + 3}{-6} = \frac{-6}{4} = \frac{z — 4}{-4} = k \).

Из средней дроби находим \( k = -\frac{3}{2} \).

Подставляем в первую пропорцию: \( \frac{x + 3}{-6} = -\frac{3}{2} \), откуда \( x + 3 = 9 \) и \( x = 6 \).

Подставляем в третью пропорцию: \( \frac{z — 4}{-4} = -\frac{3}{2} \), откуда \( z — 4 = 6 \) и \( z = 10 \).

Ответ: \( D(6; 0; 10) \).

Даны точки \( A(-3; 6; 4) \), \( B(6; -1; 2) \), \( C(0; 3; -2) \). Нужно найти точку \( D(x; 0; z) \), которая лежит в плоскости \( xz \) (то есть координата \( y = 0 \)) и такая, что вектор \( \overrightarrow{AD} \) параллелен вектору \( \overrightarrow{BC} \).

Для начала найдём векторы \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{BC} \). Вектор \( \overrightarrow{AD} \) направлен от точки \( A \) к точке \( D \), поэтому его координаты равны разности соответствующих координат: \( \overrightarrow{AD} = (x — (-3); 0 — 6; z — 4) = (x + 3; -6; z — 4) \). Аналогично, вектор \( \overrightarrow{BC} = (0 — 6; 3 — (-1); -2 — 2) = (-6; 4; -4) \).

Так как векторы \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{BC} \) параллельны, их координаты пропорциональны, то есть существует число \( k \), для которого выполняется равенство:

\[
\frac{x + 3}{-6} = \frac{-6}{4} = \frac{z — 4}{-4} = k
\]

Рассмотрим каждое равенство по отдельности. Из второго равенства видно, что \( k = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \).

Подставим это значение \( k \) в первое равенство:

\[
\frac{x + 3}{-6} = -\frac{3}{2}
\]

Умножим обе части уравнения на \(-6\):

\[
x + 3 = -\frac{3}{2} \times (-6) = 9
\]

Отсюда:

\[
x = 9 — 3 = 6
\]

Теперь рассмотрим третье равенство:

\[
\frac{z — 4}{-4} = -\frac{3}{2}
\]

Умножим обе части на \(-4\):

\[
z — 4 = -\frac{3}{2} \times (-4) = 6
\]

Отсюда:

\[
z = 6 + 4 = 10
\]

Таким образом, координаты точки \( D \) равны \( (6; 0; 10) \), что соответствует условию принадлежности плоскости \( xz \) и параллельности векторов \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{BC} \).