ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан вектор \(\vec{a} (-2; 6; 3)\). Найдите координаты вектора \(\vec{b}\), если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) противоположно направлены, а модуль вектора \(\vec{b}\) равен 1.

Дан вектор \( \vec{a} = (-2; 6; 3) \).

Векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) противоположно направлены, значит

\(\vec{b} = -k \vec{a}\), где \(k > 0\).

Модуль вектора \( \vec{b} \) равен 1:

\(\|\vec{b}\| = 1\).

Подставляем:

\[
\|\vec{b}\| = \| -k \vec{a} \| = k \|\vec{a}\| = 1,
\]

откуда

\[
k = \frac{1}{\|\vec{a}\|}.
\]

Вычисляем \(\|\vec{a}\|\):

\[
\|\vec{a}\| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7.
\]

Тогда

\[
k = \frac{1}{7}.
\]

Следовательно,

\[
\vec{b} = -\frac{1}{7} \vec{a} = \left( -\frac{1}{7} \cdot (-2); -\frac{1}{7} \cdot 6; -\frac{1}{7} \cdot 3 \right) = \left( \frac{2}{7}; -\frac{6}{7}; -\frac{3}{7} \right).
\]

Дан вектор \( \vec{a} = (-2; 6; 3) \). Нужно найти координаты вектора \( \vec{b} \), если векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) противоположно направлены, а модуль вектора \( \vec{b} \) равен 1.

1. Поскольку векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) противоположно направлены, это означает, что вектор \( \vec{b} \) можно выразить через вектор \( \vec{a} \) как \( \vec{b} = -k \vec{a} \), где \( k \) — положительное число. Знак минус указывает на противоположное направление векторов.

2. Модуль вектора \( \vec{b} \) равен 1, то есть \( \|\vec{b}\| = 1 \). Подставим выражение для \( \vec{b} \) в формулу модуля:

\( \|\vec{b}\| = \| -k \vec{a} \| = k \|\vec{a}\| = 1 \).

Здесь мы использовали свойство модуля вектора: умножение вектора на число масштабирует его длину на это число по модулю. Из этого равенства находим коэффициент \( k \):

\( k = \frac{1}{\|\vec{a}\|} \).

3. Теперь вычислим модуль вектора \( \vec{a} \). Модуль вектора с координатами \( (x; y; z) \) равен \( \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \). Для вектора \( \vec{a} = (-2; 6; 3) \) имеем:

\( \|\vec{a}\| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7 \).

4. Подставляем найденное значение модуля в формулу для \( k \):

\( k = \frac{1}{7} \).

5. Тогда координаты вектора \( \vec{b} \) будут равны:

\( \vec{b} = -\frac{1}{7} \vec{a} = \left( -\frac{1}{7} \cdot (-2); -\frac{1}{7} \cdot 6; -\frac{1}{7} \cdot 3 \right) = \left( \frac{2}{7}; -\frac{6}{7}; -\frac{3}{7} \right) \).

Таким образом, вектор \( \vec{b} \) имеет координаты \( \left( \frac{2}{7}; -\frac{6}{7}; -\frac{3}{7} \right) \), что соответствует условию задачи: он противоположно направлен вектору \( \vec{a} \) и имеет длину 1.