ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дано: \(\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}\), \(|\vec{m}| = \frac{5}{6}\), \(\vec{n} (1; -1; 2)\). Найдите координаты вектора \(\vec{m}\).

Вектор \(\vec{m}\) коллинеарен вектору \(\vec{n} = (1; -1; 2)\), значит \(\vec{m} = \lambda \vec{n} = (\lambda; -\lambda; 2\lambda)\).

Длина вектора \(\vec{m}\) равна \(5 \sqrt{6}\), тогда

\( |\vec{m}| = \sqrt{\lambda^2 + (-\lambda)^2 + (2\lambda)^2} = \sqrt{6 \lambda^2} = \sqrt{6} |\lambda| \).

Приравниваем длины:

\( \sqrt{6} |\lambda| = 5 \sqrt{6} \), откуда \( |\lambda| = 5 \).

Выбираем \(\lambda = 5\), тогда

\(\vec{m} = (5; -5; 10)\).

1. Дано, что вектор \(\vec{m}\) коллинеарен вектору \(\vec{n}\), то есть \(\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}\). Это означает, что вектор \(\vec{m}\) можно представить в виде \(\vec{m} = \lambda \vec{n}\), где \(\lambda\) — некоторое число-коэффициент. Вектор \(\vec{n}\) задан координатами \((1; -1; 2)\). Значит, координаты \(\vec{m}\) будут иметь вид \((\lambda; -\lambda; 2\lambda)\).

2. Из условия известно, что длина (модуль) вектора \(\vec{m}\) равна \(5 \sqrt{6}\). Длина вектора \(\vec{m} = (\lambda; -\lambda; 2\lambda)\) вычисляется по формуле: \( |\vec{m}| = \sqrt{\lambda^2 + (-\lambda)^2 + (2\lambda)^2} \). Раскроем скобки и сложим: \( \lambda^2 + \lambda^2 + 4 \lambda^2 = 6 \lambda^2 \). Таким образом, длина равна \( \sqrt{6 \lambda^2} = \sqrt{6} |\lambda| \).

3. Приравниваем длину к заданному значению: \( \sqrt{6} |\lambda| = 5 \sqrt{6} \). Делим обе части на \( \sqrt{6} \), получаем \( |\lambda| = 5 \). Выбираем положительное значение \(\lambda = 5\) (так как направление совпадает). Подставляем обратно в координаты: \(\vec{m} = (5; -5; 10)\). Это и есть искомые координаты вектора \(\vec{m}\).