ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Лежат ли на одной прямой точки:

1) \(A(5; 6; -4)\), \(B(7; 8; 2)\) и \(C(3; 4; 14)\);

2) \(D(-1; -7; -8)\), \(E(0; -4; -4)\) и \(F(2; 2; 4)\)?

Для проверки, лежат ли три точки на одной прямой, нужно проверить, коллинеарны ли векторы, образованные этими точками.

1) Точки \( A(5; 6; -4), B(7; 8; 2), C(3; 4; 14) \).

Вычислим векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\):

\(\overrightarrow{AB} = (7-5; 8-6; 2+4) = (2; 2; 6)\)

\(\overrightarrow{AC} = (3-5; 4-6; 14+4) = (-2; -2; 18)\)

Проверим, пропорциональны ли координаты:

\(\frac{2}{-2} = -1 \neq \frac{2}{-2} = -1 \neq \frac{6}{18} = \frac{1}{3}\)

Так как отношения не равны, точки не лежат на одной прямой.

2) Точки \( D(-1; -7; -8), E(0; -4; -4), F(2; 2; 4) \).

Вычислим векторы \(\overrightarrow{DE}\) и \(\overrightarrow{DF}\):

\(\overrightarrow{DE} = (0+1; -4+7; -4+8) = (1; 3; 4)\)

\(\overrightarrow{DF} = (2+1; 2+7; 4+8) = (3; 9; 12)\)

Проверим пропорциональность:

\(\frac{1}{3} = \frac{3}{9} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\)

Отношения равны, значит точки лежат на одной прямой.

Ответ: 1) нет; 2) да.

1) Чтобы проверить, лежат ли точки \( A(5; 6; -4) \), \( B(7; 8; 2) \) и \( C(3; 4; 14) \) на одной прямой, нужно проверить, коллинеарны ли векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\). Для этого сначала найдём координаты этих векторов. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) получается вычитанием координат точки \( A \) из координат точки \( B \): \( (7-5; 8-6; 2-(-4)) = (2; 2; 6) \). Аналогично, вектор \(\overrightarrow{AC}\) равен \( (3-5; 4-6; 14-(-4)) = (-2; -2; 18) \).

Далее смотрим, являются ли эти два вектора пропорциональными, то есть можно ли умножить координаты одного вектора на одно число, чтобы получить координаты другого. Для этого проверяем равенство дробей, образованных соответствующими координатами: \(\frac{2}{-2} = -1\), \(\frac{2}{-2} = -1\), \(\frac{6}{18} = \frac{1}{3}\). Поскольку \(-1 \neq \frac{1}{3}\), векторы не пропорциональны, следовательно, точки не лежат на одной прямой.

2) Рассмотрим точки \( D(-1; -7; -8) \), \( E(0; -4; -4) \) и \( F(2; 2; 4) \). Аналогично вычисляем векторы \(\overrightarrow{DE}\) и \(\overrightarrow{DF}\): \(\overrightarrow{DE} = (0-(-1); -4-(-7); -4-(-8)) = (1; 3; 4)\) и \(\overrightarrow{DF} = (2-(-1); 2-(-7); 4-(-8)) = (3; 9; 12)\). Проверяем пропорциональность координат: \(\frac{1}{3} = \frac{3}{9} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). Все дроби равны, значит векторы коллинеарны.

Так как векторы \(\overrightarrow{DE}\) и \(\overrightarrow{DF}\) пропорциональны, точки \( D \), \( E \) и \( F \) лежат на одной прямой. Итог: для первой тройки точек ответ «нет», для второй — «да».