ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(A, B\) и \(C\) таковы, что \(\vec{AB} (10; 15; -5)\) и \(\vec{AC} (-6; y; z)\). При каких значениях \(y\) и \(z\) точки \(A, B\) и \(C\) лежат на одной прямой?

Точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежат на одной прямой, если векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) коллинеарны, то есть существуют такое число \(k\), что \(\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC}\).

Векторы: \(\overrightarrow{AB} = (10; 15; -5)\), \(\overrightarrow{AC} = (-6; y; z)\). Приравниваем координаты с учётом множителя \(k\):
\(10 = k \cdot (-6)\), откуда \(k = \frac{10}{-6} = -\frac{5}{3}\).

Подставляем \(k\) во второе уравнение:
\(15 = -\frac{5}{3} \cdot y\), отсюда \(y = \frac{15 \cdot 3}{-5} = -9\).

Подставляем \(k\) в третье уравнение:
\(-5 = -\frac{5}{3} \cdot z\), отсюда \(z = 3\).

Ответ: \(y = -9\), \(z = 3\).

Для того чтобы три точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) были коллинеарны, то есть один был пропорционален другому. Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) вычисляются как разности координат соответствующих точек.

Даны точки: \(A\), \(B\) и \(C\), при этом вектор \(\overrightarrow{AB} = (10; 15; -5)\), а вектор \(\overrightarrow{AC} = (-6; y; z)\). Чтобы проверить коллинеарность, нужно найти такое число \(k\), при котором выполняется равенство:
\[
\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AC}
\]
или в координатах:
\[
10 = k \cdot (-6), \quad 15 = k \cdot y, \quad -5 = k \cdot z
\]

Из первого уравнения получаем:
\[
k = \frac{10}{-6} = -\frac{5}{3}
\]

Подставляем найденное значение \(k\) во второе уравнение:
\[
15 = -\frac{5}{3} \cdot y \quad \Rightarrow \quad y = \frac{15 \cdot 3}{-5} = -9
\]

Аналогично для третьего уравнения:
\[
-5 = -\frac{5}{3} \cdot z \quad \Rightarrow \quad z = 3
\]

Таким образом, чтобы точки \(A\), \(B\) и \(C\) лежали на одной прямой, необходимо, чтобы \(y = -9\) и \(z = 3\). Это значит, что вектор \(\overrightarrow{AC}\) является числовым множителем вектора \(\overrightarrow{AB}\), что и обеспечивает коллинеарность и принадлежность трёх точек одной прямой.