ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(E\) — середина ребра \(CC_1\) куба \(ABCDA B_1 C_1 D_1\). Выразите вектор \(\vec{AE}\) через векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1}\).

Точка \( E \) — середина ребра \( CC_1 \) куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \).

Вектор \( \overrightarrow{AE} \) выражается через векторы \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA_1} \) как

\(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1}\).

Точка \( E \) — середина ребра \( CC_1 \) куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Это означает, что \( E \) находится ровно посередине между вершинами \( C \) и \( C_1 \). Вектор \( \overrightarrow{AE} \) можно представить как сумму векторов, исходящих из точки \( A \), которые ведут к точке \( E \).

В кубе векторы \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA_1} \) направлены вдоль ребер, исходящих из вершины \( A \). Вектор \( \overrightarrow{AB} \) идет от \( A \) к \( B \), \( \overrightarrow{AD} \) — от \( A \) к \( D \), а \( \overrightarrow{AA_1} \) — от \( A \) к \( A_1 \). Поскольку \( C \) — это вершина, до которой можно дойти, пройдя по вектору \( \overrightarrow{AB} \) и затем по \( \overrightarrow{AD} \), то \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \).

Точка \( E \) лежит на ребре \( CC_1 \) и является его серединой, значит вектор \( \overrightarrow{CE} \) равен половине вектора \( \overrightarrow{CC_1} \), то есть \( \overrightarrow{CE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CC_1} \). Вектор \( \overrightarrow{CC_1} \) параллелен \( \overrightarrow{AA_1} \) и равен ему по длине и направлению, поэтому \( \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AA_1} \). Тогда

\( \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} \).