ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA B_1 C_1 D_1\). Точка \(M\) — середина ребра \(A B_1\), точка \(K\) — середина ребра \(C C_1\). Выразите вектор \(\vec{MK}\) через векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1}\).

Дано: \( M \) — середина ребра \( A_1 B_1 \), \( K \) — середина ребра \( CC_1 \).

Вектор \( \overrightarrow{MK} \) выражается через векторы \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \), \( \overrightarrow{AA_1} \).

Решение:

\(\overrightarrow{MK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1}\).

Дан параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Точка \( M \) — середина ребра \( A_1B_1 \), значит, вектор, ведущий к \( M \), можно представить как половину вектора от \( A_1 \) к \( B_1 \). Аналогично, точка \( K \) — середина ребра \( CC_1 \), то есть вектор к \( K \) — это половина вектора от \( C \) к \( C_1 \).

Для выражения вектора \( \overrightarrow{MK} \) через векторы \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA_1} \) сначала запишем координаты точек \( M \) и \( K \) через эти векторы. Вектор \( \overrightarrow{AB} \) направлен вдоль ребра \( AB \), вектор \( \overrightarrow{AD} \) — вдоль ребра \( AD \), а вектор \( \overrightarrow{AA_1} \) — вдоль ребра \( AA_1 \).

Положение точки \( M \) можно записать как \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \), так как \( M \) — середина ребра \( A_1B_1 \), а \( A_1 \) находится на ребре, параллельном \( AA_1 \). Точка \( K \) находится посередине ребра \( CC_1 \), следовательно, \( \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} \), учитывая, что \( C \) — вершина, смещённая на \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \) от \( A \), и \( C_1 \) — на \( \overrightarrow{AA_1} \) вверх.

Вектор \( \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{AK} — \overrightarrow{AM} \). Подставляя выражения для \( \overrightarrow{AK} \) и \( \overrightarrow{AM} \), получаем

\( \overrightarrow{MK} = \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} \right) — \left( \overrightarrow{AA_1} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \right) = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} \).

Таким образом, вектор \( \overrightarrow{MK} \) выражается через заданные векторы именно так: \( \overrightarrow{MK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} \).