ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Даны векторы \(\vec{a} (-3; 2; 5)\) и \(\vec{b} (-2; -4; 1)\). Найдите координаты вектора \(\vec{c}\), если:

1) \(\vec{c} = 3\vec{a} + 2\vec{b}\);

2) \(\vec{c} = 4\vec{a} — 3\vec{b}\).

Даны векторы \( \vec{a} = (-3; 2; 5) \) и \( \vec{b} = (-2; -4; 1) \).

1) Для \( \vec{c} = 3\vec{a} + 2\vec{b} \):

Вычисляем по координатам:
\( c_x = 3 \cdot (-3) + 2 \cdot (-2) = -9 — 4 = -13 \)

\( c_y = 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-4) = 6 — 8 = -2 \)

\( c_z = 3 \cdot 5 + 2 \cdot 1 = 15 + 2 = 17 \)

Ответ: \( \vec{c} = (-13; -2; 17) \).

2) Для \( \vec{c} = 4\vec{a} — 3\vec{b} \):

Вычисляем по координатам:
\( c_x = 4 \cdot (-3) — 3 \cdot (-2) = -12 + 6 = -6 \)

\( c_y = 4 \cdot 2 — 3 \cdot (-4) = 8 + 12 = 20 \)

\( c_z = 4 \cdot 5 — 3 \cdot 1 = 20 — 3 = 17 \)

Ответ: \( \vec{c} = (-6; 20; 17) \).

1) Для вычисления координат вектора \( \vec{c} \), заданного как \( \vec{c} = 3\vec{a} + 2\vec{b} \), необходимо применить операцию умножения вектора на число и сложения векторов по координатам. Вектор \( \vec{a} \) имеет координаты \( (-3; 2; 5) \), а вектор \( \vec{b} \) — \( (-2; -4; 1) \). Сначала умножим каждый компонент вектора \( \vec{a} \) на 3: \( 3 \cdot (-3) = -9 \), \( 3 \cdot 2 = 6 \), \( 3 \cdot 5 = 15 \). Аналогично умножим каждый компонент вектора \( \vec{b} \) на 2: \( 2 \cdot (-2) = -4 \), \( 2 \cdot (-4) = -8 \), \( 2 \cdot 1 = 2 \).

Затем сложим полученные координаты соответствующих компонентов, чтобы получить координаты вектора \( \vec{c} \). Для первой координаты: \( -9 + (-4) = -13 \), для второй: \( 6 + (-8) = -2 \), для третьей: \( 15 + 2 = 17 \). Таким образом, координаты вектора \( \vec{c} \) равны \( (-13; -2; 17) \).

2) Во втором случае, когда \( \vec{c} = 4\vec{a} — 3\vec{b} \), процесс аналогичный, но с учетом знака минус перед вторым слагаемым. Сначала умножаем координаты вектора \( \vec{a} \) на 4: \( 4 \cdot (-3) = -12 \), \( 4 \cdot 2 = 8 \), \( 4 \cdot 5 = 20 \). Затем умножаем координаты вектора \( \vec{b} \) на 3: \( 3 \cdot (-2) = -6 \), \( 3 \cdot (-4) = -12 \), \( 3 \cdot 1 = 3 \).

Теперь вычитаем полученные координаты второго вектора из первого: для первой координаты \( -12 — (-6) = -12 + 6 = -6 \), для второй \( 8 — (-12) = 8 + 12 = 20 \), для третьей \( 20 — 3 = 17 \). Итоговые координаты вектора \( \vec{c} \) равны \( (-6; 20; 17) \).