ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA B_1 C_1 D_1\). Точка \(E\) — середина ребра \(CC_1\), точка \(F\) — середина ребра \(AD\). Выразите вектор \(\vec{EF}\) через векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1}\).

Дано: куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), точка \( E \) — середина ребра \( CC_1 \), точка \( F \) — середина ребра \( AD \).

Вектор \( \overrightarrow{EF} \) можно выразить через векторы \( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA_1} \).

Пусть \( \overrightarrow{AB} = \vec{b} \), \( \overrightarrow{AD} = \vec{d} \), \( \overrightarrow{AA_1} = \vec{a} \).

Точка \( E \) — середина \( CC_1 \), значит

\[
\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} = \vec{b} + \vec{d} + \frac{1}{2} \vec{a}
\]

Точка \( F \) — середина \( AD \), значит

\[
\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \vec{d}
\]

Вектор \( \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{OF} — \overrightarrow{OE} \):

\[
\overrightarrow{EF} = \frac{1}{2} \vec{d} — \left(\vec{b} + \vec{d} + \frac{1}{2} \vec{a}\right) = — \vec{b} — \frac{1}{2} \vec{d} — \frac{1}{2} \vec{a}
\]

1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). В нем точки \( E \) и \( F \) расположены на ребрах \( CC_1 \) и \( AD \) соответственно. По условию, \( E \) — середина ребра \( CC_1 \), а \( F \) — середина ребра \( AD \). Чтобы выразить вектор \( \overrightarrow{EF} \) через векторы \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA_1} \), сначала найдем координаты этих точек относительно начальной точки \( A \).

2. Вектор \( \overrightarrow{AB} \) обозначим как \( \vec{b} \), вектор \( \overrightarrow{AD} \) как \( \vec{d} \), а вектор \( \overrightarrow{AA_1} \) как \( \vec{a} \). Точка \( C \) находится в вершине, до которой можно дойти, пройдя по вектору \( \vec{b} + \vec{d} \) от точки \( A \), то есть \( \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \vec{b} + \vec{d} \). Поскольку \( E \) — середина ребра \( CC_1 \), то \( E \) находится на полпути между \( C \) и \( C_1 \), а \( C_1 \) — это вершина, смещённая от \( C \) на вектор \( \vec{a} \). Следовательно, \( \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OC} + \frac{1}{2} \vec{a} = \vec{b} + \vec{d} + \frac{1}{2} \vec{a} \).

3. Точка \( F \) — середина ребра \( AD \), то есть находится на полпути от \( A \) к \( D \). Поскольку \( \overrightarrow{AD} = \vec{d} \), то координаты \( F \) будут \( \overrightarrow{OF} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \vec{d} = \frac{1}{2} \vec{d} \). Теперь вектор \( \overrightarrow{EF} \) равен разности координат \( F \) и \( E \): \( \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{OF} — \overrightarrow{OE} = \frac{1}{2} \vec{d} — \left(\vec{b} + \vec{d} + \frac{1}{2} \vec{a}\right) \). Упростив, получаем \( \overrightarrow{EF} = — \vec{b} — \frac{1}{2} \vec{d} — \frac{1}{2} \vec{a} \). Таким образом, вектор \( \overrightarrow{EF} \) выражен через векторы \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA_1} \).