ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Образом точки \(B(3; -4; 1)\) при гомотетии с центром \(A(-1; 2; 9)\) является точка \(B_1(-2; 3,5; 11)\). Найдите образ \(C_1\) точки \(C(19; -6; 37)\) при этой гомотетии.

Коэффициент гомотетии \( k \) находится из уравнения \( B_1 = A + k(B — A) \):
\( k = -\frac{1}{4} \).

Образ точки \( C \) вычисляем по формуле:
\( C_1 = A + k(C — A) = (-1; 2; 9) + \left(-\frac{1}{4}\right)(20; -8; 28) = (-6; 4; 2) \).

1. Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка \( M \) пространства переводится в точку \( M_1 \) по формуле \( M_1 = A + k(M — A) \), где \( A \) — центр гомотетии, \( k \) — коэффициент гомотетии. В задаче дан центр \( A(-1; 2; 9) \) и известно, что при гомотетии точка \( B(3; -4; 1) \) переходит в точку \( B_1(-2; 3.5; 11) \). Сначала нужно найти коэффициент \( k \), который характеризует растяжение или сжатие относительно центра \( A \).

2. Для нахождения \( k \) используем координатную формулу гомотетии. Запишем для каждой координаты:
\( -2 = -1 + k(3 — (-1)) \),
\( 3.5 = 2 + k(-4 — 2) \),
\( 11 = 9 + k(1 — 9) \).
Раскроем скобки и упростим:
\( -2 = -1 + 4k \Rightarrow -2 + 1 = 4k \Rightarrow -1 = 4k \Rightarrow k = -\frac{1}{4} \),
\( 3.5 = 2 — 6k \Rightarrow 3.5 — 2 = -6k \Rightarrow 1.5 = -6k \Rightarrow k = -\frac{1.5}{6} = -\frac{1}{4} \),
\( 11 = 9 — 8k \Rightarrow 11 — 9 = -8k \Rightarrow 2 = -8k \Rightarrow k = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4} \).
Все три уравнения дают одинаковое значение \( k = -\frac{1}{4} \), что подтверждает правильность вычислений.

3. Теперь, зная коэффициент гомотетии, найдём образ точки \( C(19; -6; 37) \) при той же гомотетии с центром \( A \) и коэффициентом \( k \). По формуле:
\( C_1 = A + k(C — A) \).
Вычислим разности координат:
\( 19 — (-1) = 20 \),
\( -6 — 2 = -8 \),
\( 37 — 9 = 28 \).
Подставим в формулу:
\( C_1 = (-1; 2; 9) + \left(-\frac{1}{4}\right)(20; -8; 28) = (-1; 2; 9) + (-5; 2; -7) \).
Сложим соответствующие координаты:
\( -1 — 5 = -6 \),
\( 2 + 2 = 4 \),
\( 9 — 7 = 2 \).
Таким образом, образ точки \( C \) при гомотетии — точка \( C_1(-6; 4; 2) \).