ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Образом точки \(M(2; 3; -5)\) при гомотетии с центром \(A(1; 0; -1)\) является точка \(M_1(4; 9; -13)\). Найдите прообраз \(K\) точки \(K_1(16; -21; 2)\) при этой гомотетии.

Дано: \( M(2; 3; -5) \), \( M_1(4; 9; -13) \), центр гомотетии \( A(1; 0; -1) \).

Найдем коэффициент гомотетии \( k \):
\( 4 = 1 + k(2 — 1) \Rightarrow k = 3 \).

Прообраз точки \( K_1(16; -21; 2) \) находится по формуле:
\( K = A + \frac{1}{k}(K_1 — A) \).

Подставляем:
\( K = (1; 0; -1) + \frac{1}{3}((16; -21; 2) — (1; 0; -1)) = (6; -7; 0) \).

Ответ: \( K(6; -7; 0) \).

Дано:
Точка \( M(2; 3; -5) \) при гомотетии с центром \( A(1; 0; -1) \) переходит в точку \( M_1(4; 9; -13) \).
Найти прообраз \( K \) точки \( K_1(16; -21; 2) \).

Обозначим коэффициент гомотетии \( k \). Тогда
\( M_1 = A + k(M — A) \).

Вычислим \( k \) по координате \( x \):
\( 4 = 1 + k(2 — 1) \Rightarrow 4 = 1 + k \Rightarrow k = 3 \).

Проверим по \( y \):
\( 9 = 0 + 3(3 — 0) = 9 \) — верно.

По \( z \):
\( -13 = -1 + 3(-5 + 1) = -1 + 3(-4) = -1 — 12 = -13 \) — верно.

Теперь найдем прообраз \( K \):
\( K_1 = A + k(K — A) \Rightarrow K = A + \frac{1}{k}(K_1 — A) \).

Подставим:
\( K = (1; 0; -1) + \frac{1}{3}((16; -21; 2) — (1; 0; -1)) = (1; 0; -1) + \frac{1}{3}(15; -21; 3) \).

Вычислим координаты:
\( x = 1 + \frac{15}{3} = 1 + 5 = 6 \),
\( y = 0 + \frac{-21}{3} = 0 — 7 = -7 \),
\( z = -1 + \frac{3}{3} = -1 + 1 = 0 \).

Ответ: \( K(6; -7; 0) \).