ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны. Точка \(O\) не принадлежит этим плоскостям (рис. 4.13). Каждой точке \(X\) фигуры \(F\), принадлежащей плоскости \(\alpha\), ставится в соответствие точка \(X_1\), такая, что \(X_1 = OX \cap \beta\). Докажите, что при таком преобразовании образом фигуры \(F\) является фигура \(F_1\), гомотетичная фигуре \(F\) с центром \(O\) и коэффициентом, равным \(\frac{h}{h_1}\), где \(h\) и \(h_1\) — соответственно расстояния от точки \(O\) до плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\).

Пусть \(X\) — точка фигуры \(F\) на плоскости \(\alpha\), а \(X_1\) — точка пересечения луча \(OX\) с плоскостью \(\beta\). Так как плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, треугольники \( \triangle OX F \) и \( \triangle OX_1 F_1 \) подобны. Тогда

\[
\frac{OX_1}{OX} = \frac{OF_1}{OF} = \frac{h_1}{h},
\]

где \(h\) и \(h_1\) — расстояния от \(O\) до плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\). Значит, фигура \(F_1\) гомотетична фигуре \(F\) с коэффициентом гомотетии \(\frac{h_1}{h}\) и центром в \(O\).

1. Рассмотрим точку \(X\), принадлежащую фигуре \(F\) на плоскости \(\alpha\). По условию, каждой такой точке \(X\) ставится в соответствие точка \(X_1\) на плоскости \(\beta\), которая получается пересечением луча \(OX\) с плоскостью \(\beta\). Поскольку плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, луч \(OX\), исходящий из точки \(O\), пересекает обе эти плоскости в точках \(X\) и \(X_1\) соответственно.

2. Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle OX F \) и \( \triangle OX_1 F_1 \), где \(F_1\) — образ точки \(F\) при данном преобразовании. Эти треугольники подобны, так как они имеют общий угол при вершине \(O\), а стороны, лежащие на плоскостях \(\alpha\) и \(\beta\), параллельны. Из подобия следует, что отношения соответствующих сторон равны:

\[
\frac{OX_1}{OX} = \frac{OF_1}{OF} = \frac{X_1 F_1}{X F}
\]

3. Расстояния от точки \(O\) до плоскостей \(\alpha\) и \(\beta\) обозначим как \(h\) и \(h_1\) соответственно. Тогда отношение длин лучей будет равно отношению этих расстояний:

\[
\frac{OX_1}{OX} = \frac{h_1}{h}
\]

Отсюда следует, что преобразование, переводящее фигуру \(F\) в фигуру \(F_1\), является гомотетией с центром в точке \(O\) и коэффициентом гомотетии равным \(\frac{h_1}{h}\). Это доказывает утверждение задачи.