ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что при гомотетии образом окружности является окружность.

При гомотетии отрезок переходит в отрезок, значит радиус окружности \( r \) изменяется на \( r’ = k \cdot r \).

Так как все точки окружности равноудалены от центра на расстоянии \( r \), то их образы будут равноудалены на расстоянии \( r’ \).

Следовательно, образом окружности при гомотетии является окружность с радиусом \( r’ = k \cdot r \).

1. При гомотетии любой отрезок преобразуется в отрезок, так как гомотетия сохраняет коллинеарность и порядок точек на прямой. Если рассмотреть окружность как множество точек, равных по расстоянию от центра \( O \) радиусу \( r \), то при гомотетии с центром в точке \( O \) и коэффициентом \( k \) каждая точка \( M \) окружности переводится в точку \( M’ \), для которой выполняется равенство \( OM’ = k \cdot OM \).

2. Поскольку \( OM = r \) для всех точек \( M \) на окружности, то для всех образов \( M’ \) будет выполнено \( OM’ = k \cdot r \). Это значит, что множество точек \( M’ \), образующихся из точек исходной окружности, лежит на окружности с тем же центром \( O \), но с радиусом \( r’ = k \cdot r \). Таким образом, гомотетия переводит окружность в окружность.

3. Следовательно, гомотетия не изменяет форму фигуры, а лишь масштабирует её размеры, сохраняя при этом свойства окружности — все точки остаются равноудалёнными от центра, но на новом расстоянии. Из этого следует, что образом окружности при гомотетии является окружность с радиусом, пропорциональным исходному радиусу, то есть \( r’ = k \cdot r \).