ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.26 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота пирамиды равна 25 см. Через точку \(M\), принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площади оснований образовавшейся при этом усечённой пирамиды равны 12 см\(^2\) и 75 см\(^2\). Найдите расстояние от точки \(M\) до вершины данной пирамиды.

Пусть высота пирамиды \( h = 25 \) см, расстояние от вершины до точки \( M \) — \( h_1 \). Площади оснований связаны с квадратом линейных размеров:
\( \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{h_1}{h}\right)^2 \).

Подставляем:
\( \frac{12}{75} = \left(\frac{h_1}{25}\right)^2 \Rightarrow \frac{4}{25} = \left(\frac{h_1}{25}\right)^2 \).

Отсюда:
\( \frac{h_1}{25} = \frac{2}{5} \Rightarrow h_1 = 25 \cdot \frac{2}{5} = 10 \) см.

Высота пирамиды равна \( h = 25 \) см. Через точку \( M \), которая принадлежит высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Эта плоскость образует усечённую пирамиду с двумя основаниями — нижним, площадь которого равна \( S_2 = 75 \) см², и верхним, площадь которого равна \( S_1 = 12 \) см². Необходимо найти расстояние от точки \( M \) до вершины пирамиды, то есть длину отрезка \( h_1 \).

Так как плоскость, проходящая через точку \( M \), параллельна основанию, фигуры, образованные сечением, подобны основанию пирамиды. Следовательно, отношение площадей оснований усечённой пирамиды связано с отношением линейных размеров этих оснований в квадрате. Обозначим расстояние от вершины пирамиды до плоскости через \( M \) как \( h_1 \). Тогда справедливо равенство:
\( \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{h_1}{h}\right)^2 \).

Подставим известные значения:
\( \frac{12}{75} = \left(\frac{h_1}{25}\right)^2 \).
Упростим дробь:
\( \frac{12}{75} = \frac{4}{25} \), значит
\( \frac{4}{25} = \left(\frac{h_1}{25}\right)^2 \).

Из этого следует, что
\( \frac{h_1}{25} = \frac{2}{5} \), так как корень из \( \frac{4}{25} \) равен \( \frac{2}{5} \).
Теперь найдём \( h_1 \):
\( h_1 = 25 \cdot \frac{2}{5} = 10 \) см.

Таким образом, расстояние от точки \( M \) до вершины пирамиды равно 10 см.