ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.27 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан тетраэдр \(DABC\). Медианы грани \(ADB\) пересекаются в точке \(E\), а медианы грани \(BDC\) — в точке \(F\).

1) Докажите, что \(\vec{EF} \parallel \vec{AC}\).

2) Выразите вектор \(\vec{EF}\) через вектор \(\vec{AC}\).

1) Точка \(E\) — центр тяжести треугольника \(ADB\), значит \( \overrightarrow{DE} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB}) \).

2) Точка \(F\) — центр тяжести треугольника \(BDC\), значит \( \overrightarrow{DF} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}) \).

3) Тогда \( \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{DF} — \overrightarrow{DE} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DC} — \overrightarrow{DA}) = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \).

4) Следовательно, \(EF \parallel AC\) и \( \overrightarrow{EF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \).

1) Рассмотрим грань \(ADB\). Медианы этой грани — отрезки, соединяющие вершину с серединой противоположной стороны. Точка пересечения медиан \(E\) делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Значит, вектор, направленный из точки \(D\) в точку \(E\), равен сумме векторов \( \overrightarrow{DA} \) и \( \overrightarrow{DB} \), взятых с коэффициентом \( \frac{1}{3} \), то есть \( \overrightarrow{DE} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB}) \). Это свойство центра тяжести треугольника.

Аналогично, в грани \(BDC\) медианы пересекаются в точке \(F\). По тому же принципу, вектор \( \overrightarrow{DF} \) равен \( \frac{1}{3}(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}) \).

2) Теперь найдем вектор \( \overrightarrow{EF} \), который равен разности \( \overrightarrow{DF} — \overrightarrow{DE} \). Подставляя выражения, получаем:

\( \overrightarrow{EF} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}) — \frac{1}{3}(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB}) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{DC} — \overrightarrow{DA}) \).

Заметим, что \( \overrightarrow{DC} — \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} \) по правилу сложения векторов.

3) Следовательно, \( \overrightarrow{EF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC} \), то есть вектор \( \overrightarrow{EF} \) направлен вдоль вектора \( \overrightarrow{AC} \) и пропорционален ему по длине. Это доказывает, что отрезок \(EF\) параллелен \(AC\), а также позволяет выразить \( \overrightarrow{EF} \) через \( \overrightarrow{AC} \) с коэффициентом \( \frac{1}{3} \).