ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Медианы грани \(ABC\) тетраэдра \(DABC\) пересекаются в точке \(O\). Выразите вектор \(\vec{DC}\) через векторы \(\vec{DA}\), \(\vec{DB}\) и \(\vec{DO}\).

Вектор \( \overrightarrow{DC} \) выражается через векторы \( \overrightarrow{DA} \), \( \overrightarrow{DB} \) и \( \overrightarrow{DO} \) следующим образом:

\( \overrightarrow{DC} = — \overrightarrow{DA} — \overrightarrow{DB} + 3 \overrightarrow{DO} \).

В тетраэдре \( DABC \) медианы грани \( ABC \) пересекаются в точке \( O \). По определению медианы, точка \( O \) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины к середине противоположной стороны. Это свойство позволяет выразить вектор \( \overrightarrow{DO} \) через векторы \( \overrightarrow{DA} \) и \( \overrightarrow{DB} \), так как \( O \) является центром масс медиан.

Для выражения вектора \( \overrightarrow{DC} \) через векторы \( \overrightarrow{DA} \), \( \overrightarrow{DB} \) и \( \overrightarrow{DO} \) рассмотрим, что \( \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DO} + \overrightarrow{OC} \). Вектор \( \overrightarrow{OC} \) можно представить через \( \overrightarrow{DA} \) и \( \overrightarrow{DB} \), учитывая, что точка \( O \) лежит на медианах и делит их в определённом отношении. Используя свойства медиан, получаем линейную комбинацию этих векторов.

В итоге, вектор \( \overrightarrow{DC} \) выражается формулой \( \overrightarrow{DC} = — \overrightarrow{DA} — \overrightarrow{DB} + 3 \overrightarrow{DO} \). Здесь коэффициенты показывают, как векторы \( \overrightarrow{DA} \) и \( \overrightarrow{DB} \) компенсируют движение от точки \( D \) к \( C \), а вектор \( \overrightarrow{DO} \) масштабируется в три раза, отражая влияние точки пересечения медиан на итоговое положение вектора \( \overrightarrow{DC} \).