ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) — середина ребра \(BC\) тетраэдра \(DABC\), точка \(K\) — середина отрезка \(DM\). Выразите вектор \(\vec{AK}\) через векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\).

Точка \(M\) — середина ребра \(BC\), значит \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB})\).

Точка \(K\) — середина отрезка \(DM\), значит \(\overrightarrow{DK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BM} \right)\).

Вектор \(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AD}\), тогда

\(
\overrightarrow{DK} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB}) \right) = \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}.
\)

Вектор \(\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DK} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}\).

4.29. Рассмотрим тетраэдр \(DABC\). Точка \(M\) — середина ребра \(BC\), то есть \(M\) делит отрезок \(BC\) пополам. Это значит, что вектор \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}\). Аналогично, точка \(K\) — середина отрезка \(DM\), то есть \(\overrightarrow{DK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DM}\).

Наша задача — выразить вектор \(\overrightarrow{AK}\) через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\). Для этого сначала выразим нужные промежуточные векторы через эти базовые векторы.

Вектор \(\overrightarrow{BC}\) можно записать через \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) как \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB}\), так как \(B\) и \(C\) — вершины тетраэдра, а \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) исходят из одной точки \(A\). Тогда вектор \(\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB})\).

Вектор \(\overrightarrow{DM}\) можно представить как \(\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BM}\). Вектор \(\overrightarrow{DB}\) равен \(\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AD}\), так как \(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AD}\) (векторы направлены от точки \(D\)). Подставляя, получаем \(\overrightarrow{DM} = (\overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AD}) + \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AD}\).

Теперь, поскольку точка \(K\) — середина отрезка \(DM\), вектор \(\overrightarrow{DK} = \frac{1}{2} \overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} — \overrightarrow{AD} \right) = \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}\).

Вектор \(\overrightarrow{AK}\) можно представить как сумму векторов \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{DK}\):

\(
\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DK} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}.
\)

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{AK}\) выражается через векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) формулой

\[
\overrightarrow{AK} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD}.
\]