ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) — середина ребра \(BC\) тетраэдра \(DABC\). Выразите вектор \(\vec{DM}\) через векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) и \(\vec{AD}\).

Точка \( M \) — середина ребра \( BC \), значит \( \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \).

Вектор \( \overrightarrow{DM} \) можно представить как

\( \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BM} \).

Распишем \( \overrightarrow{DB} \) через векторы из \( A \):

\( \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} \).

Также

\( \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2} (-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \).

Подставим:

\( \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} (-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \).

Точка \( M \) является серединой ребра \( BC \) в тетраэдре \( DABC \). Это ключевое условие означает, что \( M \) делит отрезок \( BC \) на две равные части. В векторной форме это записывается так: вектор \( \overrightarrow{BM} \) равен половине вектора \( \overrightarrow{BC} \), то есть \( \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \). Понимание этого помогает нам выразить любой вектор, направленный к точке \( M \), через векторы, связанные с вершинами тетраэдра.

Нам нужно выразить вектор \( \overrightarrow{DM} \) через векторы \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{AD} \). Чтобы это сделать, сначала представим \( \overrightarrow{DM} \) как сумму двух векторов: \( \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BM} \). Здесь \( \overrightarrow{DB} \) — вектор от точки \( D \) до точки \( B \), а \( \overrightarrow{BM} \) — вектор от \( B \) до середины ребра \( BC \). Далее выразим \( \overrightarrow{DB} \) через векторы, исходящие из вершины \( A \). Вектор \( \overrightarrow{DB} \) можно разложить как \( \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} \). Поскольку \( \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AD} \) с обратным направлением, для удобства возьмём \( \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} \), где \( \overrightarrow{AD} \) — вектор от \( A \) к \( D \), и \( \overrightarrow{AB} \) — вектор от \( A \) к \( B \).

Теперь рассмотрим вектор \( \overrightarrow{BM} \). Поскольку \( M \) — середина \( BC \), то \( \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC} \). Вектор \( \overrightarrow{BC} \) можно разложить через \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{AC} \), так как \( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \). При этом \( \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \), так как направлен в обратную сторону. Следовательно, \( \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} (-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \).

Подставляя выражения для \( \overrightarrow{DB} \) и \( \overrightarrow{BM} \) в формулу для \( \overrightarrow{DM} \), получаем:

\( \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BM} = (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}) + \frac{1}{2} (-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \).

Раскроем скобки и сгруппируем похожие члены:

\( \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} — \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} \).

Таким образом, вектор \( \overrightarrow{DM} \) выражается через три вектора, исходящие из точки \( A \): \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \) и \( \overrightarrow{AD} \). В конечном виде формула имеет вид:

\( \overrightarrow{DM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \).

Это выражение показывает, что чтобы дойти от точки \( D \) до середины ребра \( BC \), нужно пройти в направлении \( \overrightarrow{AD} \), а затем добавить половину векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \). Такое разложение удобно для анализа положения точки \( M \) в пространстве тетраэдра и позволяет использовать базис, заданный векторами из вершины \( A \).