ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Диагонали грани \(CC_1D_1D\) пересекаются в точке \(M\). Выразите вектор \(\vec{AM}\) через векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1}\).

В параллелепипеде \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) точка \( M \) — середина диагоналей грани \( CC_1D_1D \). Тогда

\[
\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD_1}
\]

Так как \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \), а \( \overrightarrow{AD_1} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} \), получаем:

\[
\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + \frac{1}{2} (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1}
\]

Дан параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Рассмотрим грань \( CC_1D_1D \), у которой диагонали \( CC_1 \) и \( D_1D \) пересекаются в точке \( M \). Нужно выразить вектор \( \overrightarrow{AM} \) через векторы \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA_1} \).

Пусть \( A \) — начало отсчёта. Тогда векторы \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA_1} \) задают три направления параллелепипеда. Вектор \( \overrightarrow{AC} \) можно представить как сумму \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \), так как точка \( C \) получается, если от \( A \) пройти по \( \overrightarrow{AB} \) и затем по \( \overrightarrow{AD} \).

Диагонали грани \( CC_1D_1D \) — это отрезки \( CC_1 \) и \( D_1D \). Точка пересечения диагоналей многоугольника делит каждую диагональ пополам, так как эта грань — параллелограмм. Значит, точка \( M \) — середина отрезков \( CC_1 \) и \( D_1D \).

Вектор \( \overrightarrow{AM} \) можно выразить как среднее арифметическое векторов \( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} \), потому что точки \( C, C_1, D_1, D \) связаны этими векторами. Для нахождения \( \overrightarrow{AM} \) используем свойства середины отрезка и параллелограмма.

Таким образом, вектор \( \overrightarrow{AM} \) равен половине суммы векторов \( \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA_1} \) и \( \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} \):

\[
\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1}
\]

Подставляя \( \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \), получаем:

\[
\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA_1}
\]

Это выражение показывает, что вектор \( \overrightarrow{AM} \) является суммой половины вектора \( \overrightarrow{AB} \), полного вектора \( \overrightarrow{AD} \) и половины вектора \( \overrightarrow{AA_1} \). Такой результат соответствует геометрическим свойствам параллелепипеда и расположению точки пересечения диагоналей на грани.