ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). На ребре \(AD\) отметили точку \(M\) так, что \(AM : MD = 1 : 3\), а на отрезке \(C_1D\) — точку \(K\) так, что \(C_1K : KD = 3 : 2\). Выразите вектор \(\vec{MK}\) через векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1}\).

Точка \( M \) делит ребро \( AD \) в отношении \( 1:3 \), значит
\[
\overrightarrow{OM} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AD}.
\]

Точка \( K \) делит отрезок \( C_1D \) в отношении \( 3:2 \), при этом
\[
\overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1}, \quad \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{AD}.
\]

Тогда
\[
\overrightarrow{OK} = \overrightarrow{OC_1} + \frac{3}{5} (\overrightarrow{OD} — \overrightarrow{OC_1}) = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{5} \overrightarrow{AD} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AA_1}.
\]

Вектор
\(
\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{OK} — \overrightarrow{OM} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \left(\frac{3}{5} — \frac{1}{4}\right) \overrightarrow{AD} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AA_1} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB} +\)
\(+ \frac{7}{20} \overrightarrow{AD} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AA_1}.
\)

Дан параллелепипед \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). Рассмотрим точки \( M \) и \( K \), которые лежат на ребрах \( AD \) и \( C_1D \) соответственно. По условию, точка \( M \) делит ребро \( AD \) в отношении \( AM : MD = 1 : 3 \). Это значит, что длина отрезка \( AM \) составляет четверть длины всего ребра \( AD \), так как сумма частей равна \( 1 + 3 = 4 \), и \( AM = \frac{1}{4}AD \), \( MD = \frac{3}{4}AD \).

Аналогично, точка \( K \) делит отрезок \( C_1D \) в отношении \( C_1K : KD = 3 : 2 \). Суммарно отрезок \( C_1D \) разбит на 5 частей, где \( C_1K = \frac{3}{5}C_1D \) и \( KD = \frac{2}{5}C_1D \).

Нужно выразить вектор \( \overrightarrow{MK} \) через векторы \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA_1} \).

Для начала запишем координаты точек через векторы. Пусть точка \( A \) — начало координат, тогда:
— \( \overrightarrow{AB} \) — вектор вдоль ребра \( AB \),
— \( \overrightarrow{AD} \) — вектор вдоль ребра \( AD \),
— \( \overrightarrow{AA_1} \) — вектор вдоль ребра \( AA_1 \).

Точка \( M \) на ребре \( AD \) определяется как
\[
\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AD}.
\]
Значит, координата точки \( M \) равна
\[
\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AD},
\]
поскольку \( \overrightarrow{OA} = \emptyset \).

Точка \( K \) на отрезке \( C_1D \) выражается через векторы. Вершина \( C_1 \) находится в точке
\[
\overrightarrow{OC_1} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1},
\]
а точка \( D \) — в
\[
\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AD}.
\]

Поскольку \( K \) делит \( C_1D \) в отношении \( 3:2 \), то
\[
\overrightarrow{C_1K} = \frac{3}{5} \overrightarrow{C_1D} = \frac{3}{5} (\overrightarrow{OD} — \overrightarrow{OC_1}) = \frac{3}{5} (\overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AA_1}).
\]

Тогда координата точки \( K \) равна
\[
\overrightarrow{OK} = \overrightarrow{OC_1} + \overrightarrow{C_1K} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} + \frac{3}{5} (\overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AB} — \overrightarrow{AA_1}).
\]

Раскроем скобки:
\(
\overrightarrow{OK} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1} + \frac{3}{5} \overrightarrow{AD} — \frac{3}{5} \overrightarrow{AB} — \frac{3}{5} \overrightarrow{AA_1} = \left(1 — \frac{3}{5}\right) \overrightarrow{AB} +\)
\(+ \frac{3}{5} \overrightarrow{AD} + \left(1 — \frac{3}{5}\right) \overrightarrow{AA_1}.
\)

Вычислим коэффициенты:
\[
1 — \frac{3}{5} = \frac{2}{5}.
\]

Значит,
\[
\overrightarrow{OK} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{5} \overrightarrow{AD} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AA_1}.
\]

Теперь найдём вектор \( \overrightarrow{MK} \):
\[
\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{OK} — \overrightarrow{OM} = \left(\frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{3}{5} \overrightarrow{AD} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AA_1}\right) — \frac{1}{4} \overrightarrow{AD}.
\]

Приведём к общему знаменателю для \( \overrightarrow{AD} \):
\[
\frac{3}{5} — \frac{1}{4} = \frac{12}{20} — \frac{5}{20} = \frac{7}{20}.
\]

Итоговое выражение:
\[
\overrightarrow{MK} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{7}{20} \overrightarrow{AD} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AA_1}.
\]

Таким образом, вектор \( \overrightarrow{MK} \) через векторы \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AD} \) и \( \overrightarrow{AA_1} \) выражается формулой
\[
\overrightarrow{MK} = \frac{2}{5} \overrightarrow{AB} + \frac{7}{20} \overrightarrow{AD} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AA_1}.
\]

Это решение показывает, как с помощью соотношений деления отрезков и векторного представления можно выразить любой вектор внутри параллелепипеда через базисные векторы его рёбер.