ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.33 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан тетраэдр \(DABC\). Точки \(M_1\), \(M_2\) и \(M_3\) являются соответственно точками пересечения медиан граней \(ABD\), \(BCD\) и \(ADC\). Докажите, что точки пересечения медиан треугольников \(ABC\) и \(M_1M_2M_3\) и точка \(D\) лежат на одной прямой.

Даны точки:
\[
M_1 = \frac{A + B + D}{3}, \quad M_2 = \frac{B + C + D}{3}, \quad M_3 = \frac{A + C + D}{3}.
\]

Точка пересечения медиан треугольника \( ABC \):
\[
G = \frac{A + B + C}{3}.
\]

Точка пересечения медиан треугольника \( M_1M_2M_3 \):
\[
N = \frac{M_1 + M_2 + M_3}{3} = \frac{2A + 2B + 2C + 3D}{9}.
\]

Рассмотрим векторы:
\[
\overrightarrow{DG} = G — D = \frac{A + B + C — 3D}{3},
\]
\[
\overrightarrow{DN} = N — D = \frac{2A + 2B + 2C — 6D}{9} = \frac{2}{3} \overrightarrow{DG}.
\]

Так как \(\overrightarrow{DN}\) коллинеарен \(\overrightarrow{DG}\), точки \( D, G, N \) лежат на одной прямой.

Дан тетраэдр \( DABC \). Рассмотрим точки \( M_1, M_2 \) и \( M_3 \), которые являются точками пересечения медиан граней \( ABD \), \( BCD \) и \( ADC \) соответственно. Нужно доказать, что точки пересечения медиан треугольников \( ABC \) и \( M_1M_2M_3 \), а также точка \( D \) лежат на одной прямой.

Для начала вспомним, что медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Точка пересечения медиан треугольника называется его центроидом и делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. По свойству центроида, если обозначить вершины треугольника как \( A, B, C \), то координаты точки пересечения медиан \( G \) можно выразить как среднее арифметическое координат вершин:
\(
G = \frac{A + B + C}{3}.
\)

Теперь рассмотрим медианы граней тетраэдра. Точки \( M_1, M_2, M_3 \) — это центроиды треугольников \( ABD, BCD, ADC \) соответственно. Следовательно,
\(
M_1 = \frac{A + B + D}{3}, \quad M_2 = \frac{B + C + D}{3}, \quad M_3 = \frac{A + C + D}{3}.
\)

Далее рассмотрим треугольник \( M_1M_2M_3 \). Его вершины — это центроиды граней тетраэдра, и нам нужно найти точку пересечения медиан этого треугольника. Обозначим эту точку как \( N \). По формуле центроида для треугольника:
\(
N = \frac{M_1 + M_2 + M_3}{3}.
\)
Подставим выражения для \( M_1, M_2, M_3 \):
\(
N = \frac{\frac{A + B + D}{3} + \frac{B + C + D}{3} + \frac{A + C + D}{3}}{3} = \frac{(A + B + D) + (B + C + D) + (A + C + D)}{9}.
\)
Сложим в числителе:
\(
A + B + D + B + C + D + A + C + D = 2A + 2B + 2C + 3D.
\)
Тогда
\(
N = \frac{2A + 2B + 2C + 3D}{9}.
\)

Теперь найдем точку пересечения медиан треугольника \( ABC \), обозначим её \( G \):
\(
G = \frac{A + B + C}{3}.
\)

Нужно доказать, что точки \( D, G, N \) лежат на одной прямой. Для этого рассмотрим векторные выражения:
\(
\overrightarrow{DG} = G — D = \frac{A + B + C}{3} — D = \frac{A + B + C — 3D}{3},
\)
\(
\overrightarrow{DN} = N — D = \frac{2A + 2B + 2C + 3D}{9} — D = \frac{2A + 2B + 2C + 3D — 9D}{9} = \frac{2A + 2B + 2C — 6D}{9}=\)
\( = \frac{2}{3} \cdot \frac{A + B + C — 3D}{3}.
\)

Таким образом,
\(
\overrightarrow{DN} = \frac{2}{3} \overrightarrow{DG}.
\)

Это означает, что векторы \( \overrightarrow{DG} \) и \( \overrightarrow{DN} \) коллинеарны, и точки \( D, G, N \) лежат на одной прямой. Следовательно, доказано, что точка \( D \), точка пересечения медиан треугольника \( ABC \), и точка пересечения медиан треугольника \( M_1M_2M_3 \) лежат на одной прямой.