ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(E\) и \(F\) являются соответственно серединами рёбер \(BC\) и \(AD\) тетраэдра \(DABC\). На отрезках \(BD\), \(EF\) и \(AC\) отметили соответственно точки \(M\), \(K\) и \(P\) так, что \(DM : MB = FK : KE = AP : PC = 2 : 1\). Докажите, что точки \(M\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой.

Точки \(E\) и \(F\) — середины рёбер \(BC\) и \(AD\), значит \(\vec{E} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}\), \(\vec{F} = \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2}\).

Точки \(M\), \(K\), \(P\) делят отрезки \(BD\), \(EF\), \(AC\) в отношении \(2:1\) от первой к второй точке, значит:

\(
\vec{M} = \frac{2\vec{B} + \vec{D}}{3}, \quad \vec{K} = \frac{2\vec{E} + \vec{F}}{3} = \frac{2 \cdot \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} + \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2}}{3} = \frac{2\vec{B} + 2\vec{C} + \vec{A} + \vec{D}}{6}, \quad \vec{P} = \frac{2\vec{C} + \vec{A}}{3}
\)

Вычисляем векторы:

\(
\vec{M} — \vec{K} = \frac{2\vec{B} — 2\vec{C} — \vec{A} + \vec{D}}{6}, \quad \vec{P} — \vec{K} = \frac{2\vec{C} — 2\vec{B} + \vec{A} — \vec{D}}{6} = -(\vec{M} — \vec{K})
\)

Так как \(\vec{P} — \vec{K}\) коллинеарен \(\vec{M} — \vec{K}\), точки \(M\), \(K\), \(P\) лежат на одной прямой.

Точки \(E\) и \(F\) — это середины рёбер \(BC\) и \(AD\) тетраэдра \(DABC\). Это значит, что векторы, соответствующие этим точкам, можно выразить через середины отрезков: \(\vec{E} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}\) и \(\vec{F} = \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2}\). Далее, на отрезках \(BD\), \(EF\) и \(AC\) выбраны точки \(M\), \(K\) и \(P\) соответственно так, что отношения отрезков удовлетворяют равенствам \(DM : MB = FK : KE = AP : PC = 2 : 1\). Это означает, что каждая из этих точек делит соответствующий отрезок в отношении 2 к 1, считая от первой точки отрезка к второй.

Для доказательства коллинеарности точек \(M\), \(K\) и \(P\) выразим их координаты через векторы вершин тетраэдра. Точка \(M\), делящая отрезок \(BD\) в отношении 2:1 от \(D\) к \(B\), имеет координаты \(\vec{M} = \frac{2\vec{B} + \vec{D}}{3}\). Аналогично, точка \(K\), делящая отрезок \(EF\) в том же отношении от \(F\) к \(E\), будет \(\vec{K} = \frac{2\vec{E} + \vec{F}}{3}\). Подставляя выражения для \(\vec{E}\) и \(\vec{F}\), получаем \(\vec{K} = \frac{2 \cdot \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} + \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2}}{3} = \frac{\vec{B} + \vec{C} + \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2}}{3} = \frac{2\vec{B} + 2\vec{C} + \vec{A} + \vec{D}}{6}\). Точка \(P\), делящая отрезок \(AC\) в отношении 2:1 от \(A\) к \(C\), имеет координаты \(\vec{P} = \frac{2\vec{C} + \vec{A}}{3}\).

Теперь проверим, лежат ли точки \(M\), \(K\) и \(P\) на одной прямой. Для этого рассмотрим векторы \(\vec{M} — \vec{K}\) и \(\vec{P} — \vec{K}\) и проверим их коллинеарность. Вычислим:

\(\vec{M} — \vec{K} = \frac{2\vec{B} + \vec{D}}{3} — \frac{2\vec{B} + 2\vec{C} + \vec{A} + \vec{D}}{6} = \frac{4\vec{B} + 2\vec{D} — 2\vec{B} — 2\vec{C} — \vec{A} — \vec{D}}{6} = \frac{2\vec{B} — 2\vec{C} — \vec{A} + \vec{D}}{6}\),

\(\vec{P} — \vec{K} = \frac{2\vec{C} + \vec{A}}{3} — \frac{2\vec{B} + 2\vec{C} + \vec{A} + \vec{D}}{6} = \frac{4\vec{C} + 2\vec{A} — 2\vec{B} — 2\vec{C} — \vec{A} — \vec{D}}{6} = \frac{2\vec{C} — 2\vec{B} + \vec{A} — \vec{D}}{6}\).

Обратим внимание, что \(\vec{P} — \vec{K} = -(\vec{M} — \vec{K})\). Это означает, что векторы \(\vec{M} — \vec{K}\) и \(\vec{P} — \vec{K}\) коллинеарны и направлены в противоположные стороны. Следовательно, точки \(M\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.