ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.35 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точки \(M\), \(F\) и \(K\) — середины соответственно рёбер \(BC\), \(AD\) и \(CD\) тетраэдра \(DABC\). На отрезке \(AM\) отметили точку \(P\), а на отрезке \(CF\) — точку \(E\) так, что \(AP : PM = 4 : 1\), \(CE : EF = 2 : 3\). Докажите, что прямые \(PE\) и \(BK\) параллельны.

Точки \(M, F, K\) — середины рёбер \(BC, AD, CD\) соответственно. Точка \(P\) делит отрезок \(AM\) в отношении \(4 : 1\), а точка \(E\) делит отрезок \(CF\) в отношении \(2 : 3\).

Векторы:
\(\overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C})\),
\(\overrightarrow{F} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D})\),
\(\overrightarrow{K} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D})\).

Точка \(P\):
\(\overrightarrow{P} = \frac{4}{5}\overrightarrow{M} + \frac{1}{5}\overrightarrow{A}\).

Точка \(E\):
\(\overrightarrow{E} = \frac{2}{5}\overrightarrow{F} + \frac{3}{5}\overrightarrow{C}\).

Вычисляем \(\overrightarrow{PE} = \overrightarrow{E} — \overrightarrow{P}\), упрощаем и получаем
\(\overrightarrow{PE} = \frac{1}{5}\overrightarrow{D} + \frac{1}{5}\overrightarrow{C} — \frac{2}{5}\overrightarrow{B}\).

Вычисляем \(\overrightarrow{BK} = \overrightarrow{K} — \overrightarrow{B} = \frac{1}{2}\overrightarrow{C} + \frac{1}{2}\overrightarrow{D} — \overrightarrow{B}\).

Замечаем, что \(2 \overrightarrow{PE} = \frac{4}{5} \overrightarrow{BK}\), значит векторы коллинеарны, а прямые \(PE\) и \(BK\) параллельны.

1. Рассмотрим вектор \(\overrightarrow{PE}\). Точка \(P\) делит отрезок \(AM\) в отношении \(AP : PM = 4 : 1\), значит
\(\overrightarrow{P} = \frac{4}{5}\overrightarrow{M} + \frac{1}{5}\overrightarrow{A}\).
Точка \(E\) делит отрезок \(CF\) в отношении \(CE : EF = 2 : 3\), значит
\(\overrightarrow{E} = \frac{2}{5}\overrightarrow{F} + \frac{3}{5}\overrightarrow{C}\).
Подставим точки \(M, F, K\) как середины рёбер:
\(\overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C})\),
\(\overrightarrow{F} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D})\),
\(\overrightarrow{K} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D})\).

2. Теперь выразим вектор \(\overrightarrow{PE} = \overrightarrow{E} — \overrightarrow{P}\):
\(\overrightarrow{PE} = \frac{2}{5}\overrightarrow{F} + \frac{3}{5}\overrightarrow{C} — \left(\frac{4}{5}\overrightarrow{M} + \frac{1}{5}\overrightarrow{A}\right)\).
Подставим выражения для \(\overrightarrow{F}\) и \(\overrightarrow{M}\):
\(\overrightarrow{PE} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D}) + \frac{3}{5}\overrightarrow{C} — \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) — \frac{1}{5}\overrightarrow{A}\).
Упростим:
\(\overrightarrow{PE} = \frac{1}{5}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D}) + \frac{3}{5}\overrightarrow{C} — \frac{2}{5}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) — \frac{1}{5}\overrightarrow{A}\).
Раскроем скобки и соберём по векторам:
\(\overrightarrow{PE} = \frac{1}{5}\overrightarrow{A} + \frac{1}{5}\overrightarrow{D} + \frac{3}{5}\overrightarrow{C} — \frac{2}{5}\overrightarrow{B} — \frac{2}{5}\overrightarrow{C} — \frac{1}{5}\overrightarrow{A}\).
Сократим одинаковые члены:
\(\overrightarrow{PE} = \frac{1}{5}\overrightarrow{D} + \frac{1}{5}\overrightarrow{C} — \frac{2}{5}\overrightarrow{B}\).

3. Аналогично выразим вектор \(\overrightarrow{BK} = \overrightarrow{K} — \overrightarrow{B}\):
\(\overrightarrow{BK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) — \overrightarrow{B} = \frac{1}{2}\overrightarrow{C} + \frac{1}{2}\overrightarrow{D} — \overrightarrow{B}\).
Домножим \(\overrightarrow{PE}\) на 2:
\(2 \overrightarrow{PE} = \frac{2}{5}\overrightarrow{D} + \frac{2}{5}\overrightarrow{C} — \frac{4}{5}\overrightarrow{B}\).
Домножим \(\overrightarrow{BK}\) на \(\frac{4}{5}\):
\(\frac{4}{5} \overrightarrow{BK} = \frac{2}{5}\overrightarrow{C} + \frac{2}{5}\overrightarrow{D} — \frac{4}{5}\overrightarrow{B}\).
Получаем, что \(2 \overrightarrow{PE} = \frac{4}{5} \overrightarrow{BK}\), то есть векторы \(\overrightarrow{PE}\) и \(\overrightarrow{BK}\) коллинеарны.

Следовательно, прямые \(PE\) и \(BK\) параллельны.