ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.36 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). На отрезках \(B_1C\) и \(BD\) взяли соответственно точки \(M\) и \(K\) так, что \(B_1M : MC = 2 : 1\), \(BK : KD = 1 : 2\). Докажите, что прямые \(MK\) и \(AC\) параллельны.

Даны точки:

— \( M \) на отрезке \( B_1C \) с отношением \( B_1M : MC = 2 : 1 \), координаты \( M = \left(1, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) \).
— \( K \) на отрезке \( BD \) с отношением \( BK : KD = 1 : 2 \), координаты \( K = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 0\right) \).

Вектор \( \overrightarrow{MK} = K — M = \left(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right) \).

Вектор \( \overrightarrow{AC_1} = (1,1,1) \).

Так как \( \overrightarrow{MK} = -\frac{1}{3} \overrightarrow{AC_1} \), то прямые \( MK \) и \( AC_1 \) параллельны.

Дан куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \). На ребрах \( B_1C \) и \( BD \) выбраны точки \( M \) и \( K \) так, что отношения отрезков равны: \( B_1M : MC = 2 : 1 \) и \( BK : KD = 1 : 2 \). Нужно доказать, что прямые \( MK \) и \( AC_1 \) параллельны.

1. Сначала введём прямоугольную систему координат (ПСК), чтобы упростить доказательство. Пусть вершина \( A \) находится в начале координат \( (0,0,0) \). Тогда, учитывая, что это куб со стороной длины 1, координаты остальных вершин будут:

— \( A(0,0,0) \)
— \( B(1,0,0) \)
— \( C(1,1,0) \)
— \( D(0,1,0) \)
— \( A_1(0,0,1) \)
— \( B_1(1,0,1) \)
— \( C_1(1,1,1) \)
— \( D_1(0,1,1) \)

2. Найдём координаты точек \( M \) и \( K \).

— Точка \( M \) лежит на отрезке \( B_1C \), где \( B_1(1,0,1) \) и \( C(1,1,0) \). Отрезок делится в отношении \( B_1M : MC = 2 : 1 \), значит \( M \) делит отрезок \( B_1C \) в отношении 2 к 1, считая от \( B_1 \).

Координаты \( M \) по формуле деления отрезка внутренней точкой:

\(
M = \frac{2 \cdot C + 1 \cdot B_1}{2 + 1} = \frac{2(1,1,0) + 1(1,0,1)}{3} = \frac{(2,2,0) + (1,0,1)}{3} = \frac{(3,2,1)}{3} = (1, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})
\)

— Точка \( K \) лежит на отрезке \( BD \), где \( B(1,0,0) \) и \( D(0,1,0) \), и делит этот отрезок в отношении \( BK : KD = 1 : 2 \), считая от \( B \).

Координаты \( K \):

\(
K = \frac{1 \cdot D + 2 \cdot B}{1 + 2} = \frac{1(0,1,0) + 2(1,0,0)}{3} = \frac{(0,1,0) + (2,0,0)}{3} = \frac{(2,1,0)}{3} = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 0\right)
\)

3. Теперь найдём вектор \( \overrightarrow{MK} \):

\(
\overrightarrow{MK} = K — M = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 0\right) — \left(1, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) = \left(\frac{2}{3} — 1, \frac{1}{3} — \frac{2}{3}, 0 — \frac{1}{3}\right)=\)
\( = \left(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right)
\)

4. Найдём вектор \( \overrightarrow{AC_1} \), где \( A(0,0,0) \) и \( C_1(1,1,1) \):

\(
\overrightarrow{AC_1} = C_1 — A = (1,1,1) — (0,0,0) = (1,1,1)
\)

5. Проверим, параллельны ли векторы \( \overrightarrow{MK} \) и \( \overrightarrow{AC_1} \). Для этого нужно проверить, является ли один вектор числовым множителем другого:

\(
\overrightarrow{MK} = -\frac{1}{3}(1,1,1) = -\frac{1}{3} \overrightarrow{AC_1}
\)

Так как \( \overrightarrow{MK} \) пропорционален \( \overrightarrow{AC_1} \), значит прямые \( MK \) и \( AC_1 \) параллельны.

Таким образом, доказано, что прямые \( MK \) и \( AC_1 \) действительно параллельны, что и требовалось.