ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.37 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) — центроид тетраэдра \(DABC\). Докажите, что для любой точки \(X\) пространства \(\vec{XM} = \frac{1}{4}(\vec{XA} + \vec{XB} + \vec{XC} + \vec{XD})\).

Точка \( M \) — центроид тетраэдра \( DABC \), значит она делит медианы в отношении 3:1 от вершины к центру тяжести противоположной грани. Тогда её вектор положения равен среднему арифметическому векторов вершин:

\[
\overrightarrow{OM} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}).
\]

Для любой точки \( X \) пространства:

\[
\overrightarrow{XM} = \overrightarrow{OM} — \overrightarrow{OX} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC} + \overrightarrow{XD}).
\]

Таким образом, доказано требуемое равенство.

4.37. Точка \( M \) — центроид тетраэдра \( DABC \). Докажем, что для любой точки \( X \) пространства выполняется равенство

\[
\overrightarrow{XM} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC} + \overrightarrow{XD}).
\]

Для начала вспомним, что центроид тетраэдра — это точка пересечения медиан, где медиана — отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром тяжести противоположного треугольника. Обозначим \( G \) как точку пересечения медианы, например, медианы из вершины \( D \) к центру тяжести треугольника \( ABC \). По свойству деления медианы, точка \( M \) делит медиану в отношении 3:1, считая от вершины \( D \), то есть

\[
DM : MG = 3 : 1.
\]

Это значит, что \( M \) ближе к центру тяжести треугольника \( ABC \), чем к вершине \( D \).

Далее воспользуемся ключевой задачей о делении отрезков и векторах. Пусть \( M \) — центроид, тогда его координаты (или вектор положения) можно выразить как среднее арифметическое координат вершин тетраэдра:

\[
\overrightarrow{OM} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}),
\]

где \( O \) — произвольная точка пространства, например, начало координат. Тогда для любой точки \( X \) имеем:

\(
\overrightarrow{XM} = \overrightarrow{OM} — \overrightarrow{OX} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) — \overrightarrow{OX} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB}+\)
\( + \overrightarrow{XC} + \overrightarrow{XD}).
\)

Таким образом, мы доказали, что вектор от любой точки \( X \) к центроиду \( M \) равен среднему арифметическому векторов от \( X \) к вершинам тетраэдра. Это свойство отражает геометрическую суть центроида как «центра масс» тетраэдра, где каждая вершина имеет равный вес.

Итог: для любой точки \( X \) пространства

\[
\overrightarrow{XM} = \frac{1}{4} (\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC} + \overrightarrow{XD}).
\]

Это равенство является фундаментальным в векторной геометрии и используется для определения центра тяжести тетраэдра.