ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.38 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Дан тетраэдр \(DABC\). Докажите, что равенство \(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + \vec{MD} = \vec{0}\) выполняется тогда и только тогда, когда точка \(M\) — центроид тетраэдра \(DABC\).

Пусть \( M \) — произвольная точка. Тогда

\(
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = (\overrightarrow{OA} — \overrightarrow{OM}) + (\overrightarrow{OB} — \overrightarrow{OM}) + (\overrightarrow{OC} — \overrightarrow{OM}) +\)
\(+ (\overrightarrow{OD} — \overrightarrow{OM}) = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) — 4\overrightarrow{OM}.
\)

Равенство

\[
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0}
\]

выполняется тогда и только тогда, когда

\[
4\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD},
\]

то есть \( M \) — центроид тетраэдра \( DABC \).

В условии задачи дан тетраэдр \( DABC \). Нужно доказать, что равенство

\(
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0}
\)

выполняется тогда и только тогда, когда точка \( M \) является центроидом тетраэдра \( DABC \).

Для начала вспомним, что центроид тетраэдра — это точка пересечения медиан, и она делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины. Центроид можно выразить через координаты вершин как

\(
\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{4},
\)

где \( O \) — произвольная точка отсчёта, например, начало координат.

Рассмотрим векторы от точки \( M \) к вершинам тетраэдра:

\(
\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{OA} — \overrightarrow{OM}, \quad \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{OB} — \overrightarrow{OM}, \quad \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{OC} — \overrightarrow{OM},\)
\( \quad \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{OD} — \overrightarrow{OM}.
\)

Сложим эти векторы:

\(
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) — 4\overrightarrow{OM}.
\)

Если \( M \) — центроид, то по определению

\(
\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{4}.
\)

Подставляя это в выражение для суммы векторов, получаем

\(
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) -\)
\(- 4 \cdot \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{4} = \overrightarrow{0}.
\)

Таким образом, если \( M \) — центроид, равенство выполняется.

Обратное утверждение: если сумма векторов равна нулю,

\(
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0},
\)

то из выражения

\(
(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) — 4\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{0}
\)

следует, что

\(
4\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD},
\)

то есть

\(
\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}}{4},
\)

что по определению и есть координаты центроида тетраэдра \( DABC \).

Итак, равенство

\(
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = \overrightarrow{0}
\)

выполняется тогда и только тогда, когда точка \( M \) является центроидом тетраэдра \( DABC \).