ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 4.39 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Точка \(M\) для каждого из треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) является точкой пересечения медиан. Докажите, что прямые \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) параллельны некоторой плоскости.

Точка \( M \) — точка пересечения медиан треугольников \( ABC \) и \( A_1B_1C_1 \). Тогда \( \vec{M} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) = \frac{1}{3}(\vec{A_1} + \vec{B_1} + \vec{C_1}) \).

Из этого следует равенство \( \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = \vec{A_1} + \vec{B_1} + \vec{C_1} \).

Переносим слагаемые, получаем \( (\vec{A} — \vec{A_1}) + (\vec{B} — \vec{B_1}) + (\vec{C} — \vec{C_1}) = \vec{0} \).

Это значит, что векторы \( \vec{AA_1} \), \( \vec{BB_1} \), \( \vec{CC_1} \) компланарны, то есть лежат в одной плоскости.

Следовательно, прямые \( AA_1 \), \( BB_1 \), \( CC_1 \) параллельны некоторой плоскости.

4.39. В условии задачи дана точка \( M \), которая является точкой пересечения медиан для каждого из треугольников \( ABC \) и \( A_1B_1C_1 \). Нам нужно доказать, что прямые \( AA_1 \), \( BB_1 \) и \( CC_1 \) параллельны некоторой плоскости.

Для начала вспомним важное свойство точки пересечения медиан в треугольнике. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Это значит, что если обозначить координаты вершин треугольника \( ABC \) через \( \vec{A} \), \( \vec{B} \), \( \vec{C} \), а координаты середины противоположных сторон через \( \vec{B_1} \), \( \vec{C_1} \), то координаты точки \( M \) можно выразить как среднее арифметическое координат вершин:
\( \vec{M} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) \).

Аналогично для второго треугольника \( A_1B_1C_1 \) точка пересечения медиан будет
\( \vec{M} = \frac{1}{3}(\vec{A_1} + \vec{B_1} + \vec{C_1}) \).

Из этого следует равенство:
\[
\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = \vec{A_1} + \vec{B_1} + \vec{C_1}.
\]

Перепишем это равенство, выделив векторы, соединяющие соответствующие вершины двух треугольников:
\[
(\vec{A} — \vec{A_1}) + (\vec{B} — \vec{B_1}) + (\vec{C} — \vec{C_1}) = \vec{0}.
\]

Это означает, что сумма векторов \( \vec{AA_1} \), \( \vec{BB_1} \) и \( \vec{CC_1} \) равна нулю. Следовательно, эти три вектора лежат в одной плоскости, так как любой набор из трёх векторов, сумма которых равна нулю, обязательно компланарен.

Отсюда следует, что прямые, проходящие через точки \( A \) и \( A_1 \), \( B \) и \( B_1 \), \( C \) и \( C_1 \), параллельны некоторой плоскости, определяемой этими векторами. Таким образом, доказано требуемое утверждение.

Итог: использование свойства центра масс (точки пересечения медиан) и равенства сумм координат позволяет показать, что векторы \( \vec{AA_1} \), \( \vec{BB_1} \), \( \vec{CC_1} \) компланарны, а значит прямые \( AA_1 \), \( BB_1 \), \( CC_1 \) параллельны некоторой плоскости.